La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.
Estamos de acuerdo con la siguiente notación:
S
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
Es la integral definida de la función f(x) de variable x , entre los límites de a a b . Se pretende que la zona entre la curva y el eje x, como en la imagen de arriba, es la superficie S . Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales.
El cálculo integral se refiere al cálculo de integrales tales.
Para hacer la integral de manera sistemática "de vuelta al espacio", que es abordado por las llamadas sumas superior e inferior de rectángulos cada vez más precisos.
Las áreas de los rectángulos ahora se pueden calcular fácilmente, así que tenemos un límite superior y un límite inferior para la zona.
∫
0
1
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x}
>
R
1
{\displaystyle >R_{1}\,}
+
R
2
{\displaystyle +R_{2}\,}
+
R
3
{\displaystyle +R_{3}\,}
+
R
4
{\displaystyle +R_{4}\,}
=
1
4
⋅
0
2
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\cdot 0^{2}}
+
1
4
⋅
(
1
4
)
2
{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}
+
1
4
⋅
(
2
4
)
2
{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {2}{4}}\right)^{2}}
+
1
4
⋅
(
3
4
)
2
,
donde cada rectangulo
1
4
largo y tan alto
{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2},\qquad {\text{donde cada rectangulo }}{\tfrac {1}{4}}{\text{ largo y tan alto}}}
=
0,218
75
{\displaystyle =0{,}21875\,}
Analógamente la suma superior calculada:
∫
0
1
x
2
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x}
<
R
1
{\displaystyle <R_{1}\,}
+
R
2
{\displaystyle +R_{2}\,}
+
R
3
{\displaystyle +R_{3}\,}
+
R
4
{\displaystyle +R_{4}\,}
+
1
4
⋅
(
1
4
)
2
{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}
+
1
4
⋅
(
2
4
)
2
{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {2}{4}}\right)^{2}}
+
1
4
⋅
(
3
4
)
2
{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}
+
1
4
⋅
(
4
4
)
2
{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {4}{4}}\right)^{2}}
=
0,468
75
{\displaystyle =0{,}46875\,}
Entonces vale:
0,218
75
<
∫
0
1
x
2
d
x
<
0,468
75
{\displaystyle 0{,}21875<\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x<0{,}46875}
Para un enfoque general
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Aqui se tiene para la n-esima suma por defecto
U
n
{\displaystyle U_{n}}
U
n
=
1
n
⋅
0
2
+
1
n
⋅
(
1
n
)
2
+
1
n
(
2
n
)
2
+
1
n
⋅
(
3
n
)
2
+
⋯
+
1
n
⋅
(
n
−
1
n
)
2
{\displaystyle U_{n}={\frac {1}{n}}\cdot 0^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2}}
y la n-esima suma por exceso
O
n
{\displaystyle O_{n}}
O
n
=
1
n
⋅
(
1
n
)
2
+
1
n
(
2
n
)
2
+
1
n
⋅
(
3
n
)
2
+
⋯
+
1
n
⋅
(
n
n
)
2
{\displaystyle O_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n}{n}}\right)^{2}}
Y para sacar el valor exacto de la Integral, definimos formalmente
∫
1
2
x
2
d
x
=
lim
n
→
∞
U
n
=
lim
n
→
∞
O
n
{\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }U_{n}=\lim _{n\to \infty }O_{n}}
que en el caso es la igual.
Primero sacamos por la suma por exceso:
O
n
=
1
n
⋅
(
1
n
)
2
+
1
n
(
2
n
)
2
+
1
n
⋅
(
3
n
)
2
+
⋯
+
1
n
⋅
(
n
n
)
2
|
factorizamos por
1
n
, quadriere die
B
r
u
¨
c
h
e
{\displaystyle \left.O_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n}{n}}\right)^{2}\qquad \right|{\text{ factorizamos por }}{\tfrac {1}{n}}{\text{, quadriere die }}\mathrm {Br{\ddot {u}}che} }
=
1
n
[
1
2
n
2
+
2
2
n
2
+
3
2
n
2
+
⋯
n
2
n
2
]
|
resolvemos
1
n
2
las potencias
{\displaystyle =\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1^{2}}{n^{2}}}+{\frac {2^{2}}{n^{2}}}+{\frac {3^{2}}{n^{2}}}+\cdots {\frac {n^{2}}{n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ resolvemos }}{\tfrac {1}{n^{2}}}{\text{ las potencias}}}
=
1
n
[
1
n
2
⋅
(
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
)
]
con
1
2
+
2
2
+
3
2
+
.
.
.
+
n
2
=
1
6
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}\right)\right]\qquad {\text{ con }}1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\tfrac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)}
=
1
n
[
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
n
2
]
|
resolviendo el parentesis,
1
n
se simplifica
{\displaystyle =\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ resolviendo el parentesis, }}{\tfrac {1}{n}}{\text{se simplifica}}}
=
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
n
2
{\displaystyle ={\frac {(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}}
=
2
n
2
+
3
n
+
1
6
n
2
{\displaystyle ={\frac {2n^{2}+3n+1}{6n^{2}}}}
=
2
n
2
6
n
2
+
3
n
6
n
2
+
1
6
n
2
{\displaystyle ={\frac {2n^{2}}{6n^{2}}}+{\frac {3n}{6n^{2}}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}
=
1
3
+
1
2
n
+
1
6
n
2
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}
Con lo que el valor limite será:
lim
n
→
∞
O
n
=
lim
n
→
∞
1
3
+
1
2
n
+
1
6
n
2
=
1
3
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }O_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}={\frac {1}{3}}}
Para la suma por defecto se tiene
U
n
=
O
n
−
1
n
⋅
1
2
{\displaystyle U_{n}=O_{n}-{\frac {1}{n}}\cdot 1^{2}}
y de todos modos analógamente
lim
n
→
∞
U
n
=
1
3
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }U_{n}={\frac {1}{3}}}
entonces tenemos:
∫
0
1
x
2
d
x
=
1
3
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}}
La sabiduría de las Matemáticas "La diferenciación es un arte, la integración de un arte" ya se ha señalado, no existe un procedimiento general para la determinación (exacto) de una integral , es decir, en particular, la función potencial. Hay técnicas como la integración por partes o por sustitución, con la que uno - es parte integral de - pero incluso con una buena "mente matemática".
Otros conceptos son parte integral de la integral de Lebesgue y la integral de Stieltjes, una superior y un límite inferior de la zona.
segun integral de Riemann
por exceso
![{\displaystyle =\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1^{2}}{n^{2}}}+{\frac {2^{2}}{n^{2}}}+{\frac {3^{2}}{n^{2}}}+\cdots {\frac {n^{2}}{n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ resolvemos }}{\tfrac {1}{n^{2}}}{\text{ las potencias}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c1a4355649e813d9add23cee6ada80056f717)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}\right)\right]\qquad {\text{ con }}1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\tfrac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f4550483fde2812f5a4f423a882625aedc2fae)
![{\displaystyle =\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ resolviendo el parentesis, }}{\tfrac {1}{n}}{\text{se simplifica}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef71ca256fd34451e47890a5b8a7e85dfd41ba5)
