Álgebra Universitaria/Transformada de Laplace/Propiedades

Propiedades

Linealidad

${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

Derivación

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)$.

${\mathcal {L}}\{f''(t)\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)$

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-\dots -f^{(n-1)}(0)$ $=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)$

Integración

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}$

Dualidad

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$

Desplazamiento de la frecuencia

${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$

Desplazamiento temporal

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$

Nota: $u(t)$ es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

${\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]$

Convolución

${\mathcal {L}}\{f*g\}=F(s)G(s)$

Transformada de Laplace de una función con periodo p

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt$

Condiciones de convergencia

${\mathcal {L}}\{(e^{t^{2}})\}$ (que crece más rápido que $e^{-st}$) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que $e^{t^{2}}$, es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial

Sea una función $f\in \varepsilon$ derivable a trozos y que $f^{\prime }\in \varepsilon .$ Entonces :

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

$\varepsilon$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final

Sea$f\in \varepsilon$ una función derivable a trozos tal que $f^{\prime }\in \varepsilon$.Entonces :

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$

$\varepsilon$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.