Álgebra Universitaria/Transformada de Fourier/Propiedades básicas

Propiedades básicas

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

${\mathcal {F}}\{a\cdot f+b\cdot g\}=a\,{\mathcal {F}}\{f\}+b\,{\mathcal {F}}\{g\}.$

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable $f$:

• Cambio de escala:

${\mathcal {F}}\{f(at)\}(\xi )={\frac {1}{|a|}}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}{\bigg (}{\frac {\xi }{a}}{\bigg )}$

• Traslación:

${\mathcal {F}}\{f(t-a)\}(\xi )=e^{-i\xi a}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )$

• Traslación en la variable transformada:

${\mathcal {F}}\{f\}(\xi -a)={\mathcal {F}}\{e^{iat}f(t)\}(\xi )$

• Transformada de la derivada: Si $f$ y su derivada son integrables,

${\mathcal {F}}\{f'\}(\xi )=i\xi \cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )$

• Derivada de la transformada: Si $f$ y $t$ → $f(t)$ son integrables, la transformada de Fourier $F(f)$ es diferenciable

${\mathcal {F}}\{f\}'(\xi )={\mathcal {F}}\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi )$

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones $f$ y $g$ en la recta de la manera siguiente:

$(f*g)(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(y)\cdot g(x-y)\,dy.$

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si $f$ y $g$ son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

${\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}.$

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.