Álgebra Universitaria/Transformada de Fourier/Propiedades básicas

Propiedades básicas editar

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:


 

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable  :

  • Cambio de escala:
 
  • Traslación:
 
  • Traslación en la variable transformada:
 
  • Transformada de la derivada: Si   y su derivada son integrables,
 
  • Derivada de la transformada: Si   y    son integrables, la transformada de Fourier   es diferenciable
 

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes.

En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones   y   en la recta de la manera siguiente:

 

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si   y   son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

 

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

 

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.