Álgebra Universitaria/Series de Fourier/Formula de Euler

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:

$e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x$

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, $\operatorname {sen} x$ y $\cos x$ son las funciones trigonométricas seno y coseno.

O bien se suele expresar como:

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)$

siendo $z$ la variable compleja definida por $z=x+iy$

Demostración

Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la función exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los números reales para parámetros complejos.

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia unidad en el plano complejo, dibujada por la función e^ix al variar $x$ sobre los números reales. Así, $x$ es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

La fórmula de Euler fue formulada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió en 1787 por parte del matemático Caspar Wessel en su único informe para la Real Academia Danesa.

Demostración usando las Series de Taylor

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

Sabiendo que:

${\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}$

y así sucesivamente. Además de esto, las funciones e^x, cos(x) y sen(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

${\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$

Otra definición que se le puede dar a e elevado a equis basandose en las series de Taylor es la siguiente.

$e^{x}=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}$

también valido para.

$\cos x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}$

$\sin x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}$

Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

${\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}$

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Relevancia matemática

La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.

Logaritmo de un número negativo

En este caso, la fórmula de Euler es evaluada en $x=\pi$ , obteniendo la identidad de Euler:

$e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1$

$e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!$

Luego, al aplicar el logaritmo natural se obtiene:

$\mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!$.

Logaritmo de un número negativo cualquiera

Como extensión de la ecuación anterior, el logaritmo de cualquier número negativo se define como:

$\ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!$. Donde $a>0$.

Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.

Integración y derivación

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.

De las reglas de la exponenciación

$e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}$

y

$(e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}$

(válidas para todo par de números complejos $a$ y $b$), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

Funciones trigonométricas

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

$\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}$

$\operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}$

A partir de estas igualdades, es posible definir las funciones trigonométricas para los números complejos de este modo:

$\operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}$

$\cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}$

$\tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}*{\cfrac {1}{i}}$

siendo $z\in \mathbb {C}$, es decir, que pertenece al conjunto de números complejos. Estas funciones trigonométricas cumplen las leyes de sus similares aplicadas a los números reales. Sean los números complejos $z$ y $w$, es decir $z\land w\in \mathbb {C}$, entonces son válidas las siguientes igualdades:

$\cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1$

$\cos(-z)=\cos(z)$

$\operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)$

$\operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)$

$\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)$

Ecuaciones diferenciales

En las ecuaciones diferenciales, la expresión $e^{ix}$ es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler.

Análisis de señales

Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno, como ocurre en el análisis de Fourier, y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.