editar
La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:
a
d
2
y
d
x
2
+
b
d
y
d
x
+
c
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=f(x)}
La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:
a
λ
2
+
b
λ
+
c
=
0
{\displaystyle a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\,}
En función de cómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles y distintos:
Caso 1: dos raíces reales y distintas
(
λ
1
≠
λ
2
)
{\displaystyle (\lambda _{1}\neq \lambda _{2})\,}
y
(
x
)
=
C
1
e
λ
1
x
+
C
2
e
λ
2
x
+
e
λ
1
x
λ
1
−
λ
2
∫
x
0
x
e
−
λ
1
u
f
(
u
)
d
u
+
e
λ
2
x
λ
2
−
λ
1
∫
x
0
x
e
−
λ
2
u
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}+{\frac {e^{\lambda _{1}x}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{1}u}f(u)du+{\frac {e^{\lambda _{2}x}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{2}u}f(u)du}
Caso 2: dos raíces reales e iguales
(
λ
1
=
λ
2
)
{\displaystyle (\lambda _{1}=\lambda _{2})\,}
y
(
x
)
=
C
1
e
λ
1
x
+
C
2
x
e
λ
1
x
+
x
e
λ
1
x
∫
x
0
x
e
−
λ
1
u
f
(
u
)
d
u
−
e
λ
1
x
∫
x
0
x
x
e
−
λ
2
u
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}xe^{\lambda _{1}x}+xe^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}e^{-\lambda _{1}u}f(u)du-e^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}xe^{-\lambda _{2}u}f(u)du}
Caso 3: dos raíces complejas conjugadas
(
λ
1
=
p
+
q
i
,
λ
2
=
p
−
q
i
)
{\displaystyle (\lambda _{1}=p+qi,\lambda _{2}=p-qi)\,}
y
(
x
)
=
e
p
x
(
C
1
cos
q
x
+
C
2
sin
q
x
)
+
e
p
x
sin
q
x
q
∫
x
0
x
e
−
p
u
f
(
u
)
cos
q
u
d
u
−
e
p
x
cos
q
x
q
∫
x
0
x
e
−
p
u
f
(
u
)
sin
q
u
d
u
{\displaystyle y(x)=e^{px}(C_{1}\cos qx+C_{2}\sin qx)+{\frac {e^{px}\sin qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-pu}f(u)\cos qu\ du-{\frac {e^{px}\cos qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}e^{-pu}f(u)\sin qu\ du}
El último término de esta última ecuación está relacionado con la integral de Duhamel .
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Esta ecuación tiene la forma:
x
2
d
2
y
d
x
2
+
a
x
d
y
d
x
+
b
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=g(x)}
Y puede resolverse mediante el cambio de variable
x
=
e
t
{\displaystyle x=e^{t}\,}
d
2
y
¯
d
t
2
+
(
a
−
1
)
d
y
¯
d
t
+
b
y
¯
=
g
(
e
t
)
,
y
¯
(
t
)
=
y
(
e
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}{\bar {y}}}{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d{\bar {y}}}{dt}}+b{\bar {y}}=g(e^{t}),\qquad {\bar {y}}(t)=y(e^{t})}
La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas . Dicha ecuación tiene la forma:
x
2
d
2
y
d
x
2
+
x
d
y
d
x
+
(
x
2
−
n
2
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0}
Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel :
y
(
x
)
=
C
1
J
n
(
x
)
+
C
2
Y
n
(
x
)
{\displaystyle y(x)=C_{1}J_{n}(x)+C_{2}Y_{n}(x)\,}
Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel.
La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas . Dicha ecuación tiene la forma:
x
2
d
2
y
d
x
2
+
(
2
p
+
1
)
x
d
y
d
x
+
(
α
x
2
r
+
β
2
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(2p+1)x{\frac {dy}{dx}}+(\alpha x^{2r}+\beta ^{2})y=0}
Cuya solución viene dada por:
y
(
x
)
=
x
−
p
[
C
1
J
q
/
r
(
α
r
x
r
)
+
C
2
Y
q
/
r
(
α
r
x
r
)
]
,
q
:=
p
2
−
β
2
{\displaystyle y(x)=x^{-p}\left[C_{1}J_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)+C_{2}Y_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)\right],\qquad q:={\sqrt {p^{2}-\beta ^{2}}}}
La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas . La ecuación tiene la forma:
(
1
−
x
2
)
d
2
y
d
x
2
−
2
x
d
y
d
x
+
n
(
n
+
1
)
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+n(n+1)y=0}
Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n:
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
d
n
d
x
n
(
x
2
−
1
)
n
{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}}
Las solución general puede expresarse en la forma:
y
(
x
)
=
C
1
U
n
(
x
)
+
C
2
V
n
(
x
)
{\displaystyle y(x)=C_{1}U_{n}(x)+C_{2}V_{n}(x)\,}
=
y
(
x
)
=
C
¯
1
P
n
(
x
)
+
C
¯
2
Q
n
(
x
)
{\displaystyle =y(x)={\bar {C}}_{1}P_{n}(x)+{\bar {C}}_{2}Q_{n}(x)}
Donde:
{
U
n
(
x
)
=
1
−
n
(
n
+
1
)
2
!
x
2
+
n
(
n
−
2
)
(
n
+
1
)
(
n
+
3
)
4
!
x
4
−
…
V
n
(
x
)
=
x
−
(
n
−
1
)
(
n
+
2
)
3
!
x
3
+
(
n
−
1
)
(
n
−
3
)
(
n
+
2
)
(
n
+
4
)
5
!
x
5
−
…
{\displaystyle {\begin{cases}U_{n}(x)=1-{\cfrac {n(n+1)}{2!}}x^{2}+{\cfrac {n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!}}x^{4}-\ldots \\V_{n}(x)=x-{\cfrac {(n-1)(n+2)}{3!}}x^{3}+{\cfrac {(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}}x^{5}-\ldots \end{cases}}}
P
n
(
x
)
=
{
U
n
(
x
)
/
U
n
(
1
)
n
=
0
,
2
,
4
,
…
V
n
(
x
)
/
V
n
(
1
)
n
=
1
,
3
,
5
,
…
{\displaystyle P_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)/U_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\V_{n}(x)/V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}}
Q
n
(
x
)
=
{
V
n
(
x
)
U
n
(
1
)
n
=
0
,
2
,
4
,
…
−
U
n
(
x
)
V
n
(
1
)
n
=
1
,
3
,
5
,
…
{\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}V_{n}(x)U_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\-U_{n}(x)V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}}
![{\displaystyle y(x)=x^{-p}\left[C_{1}J_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)+C_{2}Y_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)\right],\qquad q:={\sqrt {p^{2}-\beta ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef51d1519f0212af232eb2ff310cbc8039aacb32)
