Álgebra Universitaria/Calculo Vectorial/Producto Escalar

En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V ² y su codominio es K, donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo. Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

${\begin{array}{rrcl}\langle \cdot ,\cdot \rangle :&\;V\times V&\longrightarrow &\mathbb {K} \\&(x,y)&\longrightarrow &a=\langle x,y\rangle \end{array}}$

donde $V\;$ es un espacio vectorial y $\mathbb {K}$ es el cuerpo sobre el que está definido $V\;$. La función $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ (que toma como argumentos dos elementos de $V\;$, y devuelve un elemento del cuerpo $\mathbb {K}$) debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda: $\langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle$, y linealidad conjugada por la derecha: $\langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle$
2. Hermiticidad: $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$,
3. Definida positiva: $\langle x,x\rangle \geq 0\,$, y $\langle x,x\rangle =0\,$ si y sólo si x = 0,

donde $x,y,z\in V$ son vectores de V, $a,b\in \mathbb {K}$ representan escalares del cuerpo $\mathbb {K}$ y ${\overline {c}}$ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., $\mathbb {R}$), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:

${\begin{array}{rrcl}\bullet :&\;V\times V&\longrightarrow &\mathbb {K} \\&(x,y)&\longrightarrow &a=x\bullet y\end{array}}$

Un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.

Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo $\theta$ que forman.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta$

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

Proyección de un vector sobre otro

Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy A_B, será

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|B|\left({\text{proy}}A_{B}\right)$

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ángulos entre dos vectores

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

$\cos \theta ={\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \over {\big \|}\mathbf {A} {\big \|}\,{\big \|}\mathbf {B} {\big \|}}\,$

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {A} \bot \mathbf {B}$

ya que el $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$.

Vectores paralelos o en una misma dirección

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A\,B\,\cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta |=1\leftrightarrow A||B\Rightarrow |\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |=|A|\,|B|$

Propiedades del producto escalar

Sean A, B y C vectores en el plano o en el espacio y sea m un escalar:

1. Conmutativa:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C}$

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

$m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )$

Expresión analítica del producto escalar

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en $\mathbb {R} ^{3}$ formada por los vectores unitarios i , j , k tenemos:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

$\mathbf {B} =B_{x}\mathbf {i} +B_{y}\mathbf {j} +B_{z}\mathbf {k} \,$

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\,$

Así, generalizando para un espacio de n dimensiones

si A y B son vectores o puntos en un espacio $\mathbb {R} ^{n}$ entonces:

el producto escalar se realizaría como un producto matricial de la siguiente forma:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&...&A_{n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\.\\.\\.\\B_{n}\\\end{bmatrix}}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+...+A_{n}B_{n}\,$

Norma o Módulo de un vector

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \quad \rightarrow \quad {\big \|}\mathbf {A} {\big \|}={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}$

Efectuado el producto escalar, tenemos:

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =(A_{1},A_{2},...,A_{n})^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}=\sum A_{i}^{2}$

de modo que

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}={\sqrt {\sum A_{i}^{2}}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}}}$

Por componentes, tomando la base canónica en $\mathbb {R} ^{3}$ formada por los vectores unitarios {i, j, k}

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\,$

de modo que

${\big \|}\mathbf {A} {\big \|}={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}\,$

Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales

Citamos a continuación algunos productos estudiados generalmente en Teoría de Espacios Normados. Todos estos productos -llamados canónicos- son sólo algunos de los infinitos productos interiores que se pueden definir en sus respectivos espacios.

• En el espacio vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}=\sum a_{i}\cdot b_{i}$

• En el espacio vectorial $\mathbb {C} ^{n}$ se suele definir el producto interior por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}\cdot {\overline {b_{n}}}=\sum a_{i}\cdot {\overline {b_{i}}}$

Siendo ${\overline {b_{n}}}$ el número complejo conjugado de $b_{n}$

• En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos reales

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{T}\cdot B)$

donde tr(A) es la traza de la matriz A y $A^{T}$ es la matriz traspuesta de A.

• En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos complejos

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{*}\cdot B)$

donde tr(A) es la traza de la matriz A y $A^{*}$ es la matriz traspuesta conjugada de A.

• En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:

$\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x$

• En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:

Dado $\textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n+1}]\subseteq \mathbb {R}$ tal que $\textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n+1}\,$ :

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n}+1)q(x_{n}+1)=\sum p(x_{i})\cdot q(x_{i})$

Generalizaciones

Formas cuadráticas

Dada una forma bilineal simétrica $\scriptstyle B(\cdot ,\cdot )$ definida sobre un espacio vectorial $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}$ puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante la fórmula:

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )_{B}={\begin{bmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{11}&\dots &B_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\B_{n1}&\dots &B_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\dots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}B_{ij}u_{i}v_{j}$

Donde:

$B_{ij}:=B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})$

$\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$ es una base del espacio vectorial $\scriptstyle V$

Puede comprobarse que la operación anterior $\scriptstyle (\cdot ,\cdot )_{B}:V\times V\to \mathbb {R}$ satisface todas las propiedades que debe satisfacer un producto escalar.

Tensores métricos

Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico $\scriptstyle g:{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\to \mathbb {R}$, tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal $\scriptstyle g_{x}(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )$.

Así, dados dos vectores campos vectoriales $\mathbf {u}$ y $\mathbf {v}$ del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =g_{x}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}(x)u_{i}v_{j}$

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente $\scriptstyle \mathbf {T}$ de la siguiente manera:

$L_{C}=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g(\mathbf {x} ,\mathbf {T} ,\mathbf {T} )}}\ ds=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g_{ij}{\frac {dx^{i}}{ds}}{\frac {dx^{i}}{ds}}}}\ ds$

Referencias

Bibliografía

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