Matemáticas/Álgebra Lineal/Transformaciones elementales de una matriz

En la sección anterior quedó definido el concepto de matriz. A continuación se mostrarán las propiedades y ventajas de éstos objetos matemáticos, así como del tratamiento encaminado a hacer lo más entendible posible los procesos de manipulación de los mismos que se han ido desarrollando desde el nacimiento del álgebra matricial.

Tipos especiales de matrices: triangulares y diagonales

Considérese una matriz cuadrada A. Llamamos a los elementos de la forma $\ a_{ii}$, con $i\in 1,...,n$ elementos de la diagonal principal de la matriz A. Más en particular, decimos que una matriz A es diagonal si los elementos que no son de su diagonal principal son cero. Se dice de una matriz que es triangular superior (respectivamente triangular inferior) si todos los elementos por debajo (respectivamente por encima) de la diagonal principal son nulos. Las matrices que son al mismo tiempo triangulares superiores y triangulares inferiores se llaman matrices diagonales. El ejemplo más típico de matriz diagonal (y el más importante, probablemente) es la matriz identidad:

$\ {\begin{pmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &1&\cdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\ddots &\cdots &0\\\vdots &\cdots &\cdots &1&\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &1\end{pmatrix}}$

Usando la función delta de Kronecker, que vale 1 si i=j y 0 en caso contrario, podemos definir la matriz identidad de orden n como $\ I_{n}$=$\ \delta _{ij}$. Finalmente, definimos la traza de una matriz como la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir:

${\mbox{tr(A)}}$=$\sum _{k=1}^{n}a_{kk}\,$

Propiedades de la traza

1. Dadas dos matrices cuadradas $A,B\in {\mathcal {M}}_{n\times n}\,$, se verifica tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
2. Dadas dos matrices cuadradas $A,B\in {\mathcal {M}}_{n\times n}\,$, se verifica tr (AB) = tr (BA)

Matrices escalonadas reducidas

Dada una matriz A de orden m x n, definimos el pivote de una fila o columna como el primer elemento de esa fila o columna que es distinto de cero. De A decimos que es escalonada por filas si cumple las siguientes condiciones:

1. Si A posee filas nulas (con todos sus elementos iguales a cero), éstas están agrupadas en la parte inferior de la matriz.
2. El pivote de cada fila no nula es igual a 1.
3. Dada una fila k, el pivote de la fila anterior queda a la izquierda y el de la fila posterior, si lo hubiere, a la derecha.

Si añadimos una cuarta condición:

"Los elementos que aparecen en la misma columna que cualquier pivote son todos nulos".

Decimos que la matriz es escalonada reducida por filas. De forma análoga se define el concepto de matriz escalonada por columnas y si A es escalonada reducida por filas y por columnas, entonces se dice simplemente que es escalonada reducida. Apréciese que una matriz escalonada reducida es una matriz diagonal.

Forma normal de Hermite

Una vez que hemos aprendido los conceptos de matriz escalonada reducida y transformación de una matriz, ahora generalizaremos el método par convertir una matriz A en una matriz escalonada reducida. Para ello debemos saber qué transformaciones podemos hacer en una matriz. Debido a la definición de las matrices que vimos en la sección anterior, las transformaciones permitidas en una matriz serán las mismas que en el sistema de ecuaciones lineales asociado, es decir:

1. Intercambiar posiciones de filas.
2. Multiplicar los elementos de una fila por un escalar no nulo.
3. Sumar una fila multiplicada por un escalar a otra.

Éstas son las llamadas transformaciones elementales de una matriz. Diremos que dos matrices son equivalentes por filas, si podemos pasar de una a la otra mediante trasformaciones elementales. Al resultar evidente que el proceso inverso de una transformación elemental es otra transformación elemental, se aprecia que la relación de equivalencia por filas entre dos matrices es, valga la redundancia, una relación de equivalencia. En efecto,

1. Una matriz reducida tiene como matriz reducida a ella misma.
2. Si una matriz A es equivalente por filas y/o columnas a otra matriz H(A), entonces ésta última es claramente equivalente por filas y/o columnas a la primera.
3. Si una matriz a es equivalente por filas y/o columnas a otra B, y ésta a su vez es equivalente por filas y/o columnas a una tercera C, es trivial comprobar que A es equivalente por filas y/o columnas a C.

La importancia de éste hecho es que los conjuntos formados por las matrices que son equivalentes a una determinada matriz reducida son clases de equivalencia, que efectúan una partición en clases disjuntas del conjunto de las matrices de éste orden.

Lema 1. Sean A y B dos matrices reducidas por filas. Si ambas son equivalentes por filas, entonces se tiene que A = B.

Demostración. Probaremos éste resultado por inducción. Para "1 columna", si A = 0, se tiene que dar necesariamente B = 0. Si ambas matrices son no nulas y escalonadas, la única forma posible es:

$A={\begin{pmatrix}1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=B\,$

Aplicando el principio de inducción, suponemos el lema cierto para n-1 y tratamos el problema de grado n. Simplemente, eliminando la última fila de las matrices A y B se tiene la igualdad de las matrices resultantes por hipótesis de inducción, y sólo resta comprobar la igualdad de las últimas filas, hecho evidente que se obtiene con una tranformación elemental con el método de la sección anterior.

Teorema 1. Cada matriz es equivalente por filas a una única matriz escalonada reducida por filas.

Demostración. Evidente a raíz del hecho descrito en el párrafo anterior.

Ahora, dada una matriz A, podemos definir la forma normal de Hermite (por filas y/o columnas) como la matriz escalonada reducida (por filas y/o columnas) equivalente a ella. Es importante recordar que el Método de Gauss nos garantiza el paso de una a otra mediante transformaciones elementales.

Rango de una matriz

Dada, ahora una Matriz $A\in \ M_{mn}(K)\,$, definimos el rango de A como el número de filas no nulas de su forma normal de Hermite por filas, y lo denotaremos como rg(A).

Proposición 2. Si A es una matriz de $M_{mn}(K)\,$, entonces se tiene que $rg(A)\leq \min {m,n}\,$

Demostración. Por definición, se tiene que $rg(A)\leq \ m\,$. Por otra parte, si llamamos $rg(A)=r\,$, entonces todas las r filas de la forma normal de Hermite tendrán un término no nulo en ellas, por lo que se tendrá $rg(A)\leq \ n\,$, concluyendo el resultado.

Es importante recordar que para hallar el rango de una matriz no es necesario obtener la forma normal de Hermite, sino solamente la matriz escalonada reducida por filas asociada.

Teorema 2 (de Rouché-Frobenius). Dado un sistema de ecuaciones linales, su matriz asociada A de $M_{mn}(K)\,$ y la ampliada de ésta (A|B), se tiene que :

1. El sistema es compatible si, y sólo si, rg(A) = rg(A|B).
2. El sistema es compatible rg(A) = rg(A|B) = n.

Demostración. Sea H la forma normal de Hermite por filas de la matriz ampliada (A|B). Entonces, la matriz que corresponde a la forma normal de Hermite de A es la matriz H' que se obtiene eliminando la última columna de H. Como vimos anteriormente, el sistema es compatible si y sólo si en su forma escalonada reducida por filas no aparece una ecuación del tipo b = 0, o equivalentemente, si rg(A) = rg(A|B). Por otro lado, si rg(A) = rg(A|B)= r entonces existen r incógnitas principales, y el sistema será compatible determinado si, y sólo si, todas sus incógnitas son principales, es decir, si r = n.

Ejercicios resueltos de cómo calcular el rango de una matriz