Matemáticas/Álgebra Lineal/Operaciones con matrices

Las matrices son objetos matemáticos que no se interrelacionan como los números o las funciones, ya que carecen de algunas de la propiedades usuales de éstos objetos anteriores. Sin embargo, poseen otras muy interesantes, que veremos en el siguiete punto: la aritmética de matrices.

Suma de matrices

Sean $A,B\in M_{m\times n}$ con coeficientes ${a_{ij}},{b_{ij}}$ respectivamente. Definimos la matriz suma $S_{A+B}=A+B$ como:

${\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\dots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\dots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\dots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}$

Es importante aclarar que la suma de matrices solo está definida para matrices que poseen el mismo orden.

Propiedades de la suma de matrices

$(M_{m\times n}(\mathbb {K} ),+)$ es un grupo abeliano. Id est, verifica las siguientes propiedades:

1. Asociatividad: $A+(B+C)=(A+B)+C$ para cualesquiera $A,B,C\in \ M_{m\times n}(K)$.
2. Conmutatividad: $A+B=B+A$ para cualesquiera $A,B\in \ M_{m\times n}(K)$.
3. Elemento neutro: la matriz formada enteramente por ceros, que en ocasiónes denotaremos como matriz $O$, verifica que A + $O$ = A para cualquier $A\in \ M_{mn}(K)$.
4. Elemento simétrico: para cualquier $A\in \ M_{mn}(K)\,$, existe $-A\in \ M_{mn}(K)$ que verifica A + (- A) = 0.

La demostración de estas propiedades se deduce claramente de las propiedades algebraicas de cuerpo que posee K.

Producto entre matrices y escalares

Sea una matriz $A\in \ M_{mn}(K)\,$ y un escalar $\alpha \ \in \ K\,$. Definimos el producto entre A y α como la matriz

${\begin{pmatrix}\alpha \ \cdot \ a_{11}&\cdots &\alpha \ \cdot \ a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha \ \cdot \ a_{m1}&\cdots &\alpha \ \cdot \ a_{mn}\end{pmatrix}}\,$

y lo denotamos por $\alpha \ A\,$.

Propiedades del producto entre matrices y escalares

A continuación detallamos las propiedades del producto entre matrices y escalares:

1. Distributiva con respecto a la suma de escalares: (α + β) A = αA + βA para cualesquiera $A\in \ M_{mn}(K)\,$, $\alpha \ ,\beta \ \in \ K\,$.
2. Distributiva con respecto a la suma de matrices: C(A + B) = αA + αB para cualesquiera $A,B\in \ M_{mn}(K)\,$, $\alpha \ \in \ K\,$.
3. Pseudoasociatividad: ( αβ ) A = α ( βA ) para cualesquiera $A\in \ M_{mn}(K)\,$, $\alpha \ ,\beta \ \in \ K\,$.
4. Elemento neutro: para cualquier $A\in \ M_{mn}(K)\,$, se verifica 1A = A.

Producto de Matrices

Dadas dos matrices $A,B\in \ M_{mn}(K)\,$, definimos la matriz producto como la Matriz C cuyos elementos c_i,j están definidos por:

$c_{ij}=\sum _{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}$

Para operar, es útil seguir el método consistente en ir sumando los productos de la fila del primer factor y la columna del segundo que determinan la posición del elemento a dilucidar, siguiendo el gráfico de la imagen.

Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores.

Proposición 3. Las matrices con coeficientes en un cuerpo K tienen estructura de anillo no conmutativo.

Demostración. La estructura de anillo es evidente desde la definición del producto de matrices. Para ver que no es conmutativo, consideramos el siguiente contraejemlo: considérense las matrices A y B siendo

$A={\begin{pmatrix}1&-1&1\\-3&2&-1\\-2&1&0\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&2&3\end{pmatrix}}\,$

Se puede comprobar que se verifica entonces:

$AB={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},BA={\begin{pmatrix}-11&6&-1\\-22&12&-2\\-11&6&-1\end{pmatrix}}\,$

Cabe decir, no obstante, que la no conmutatividad de los anillos de matrices solo se verifica si la dimensión de éstas es mayor que 1, ya que en ese caso nos encontramos con el propio cuerpo K. A continuación estudiamos las principales propiedades del producto de matrices.

Propiedades del producto de matrices

1. Asociatividad respecto de escalares: α (A B) = (α A) B para cualesquiera $A,B\in \ M_{mn}(K)\,$, $\alpha \ \in \ K\,$.
2. Asociatividad respecto de matrices: A (B C) = (A B) C para cualesquiera $A,B,C\in \ M_{mn}(K)\,$.
3. Distributiva por la derecha: (A + B) C = A C + B C para cualesquiera $A,B,C\in \ M_{mn}(K)\,$.
4. Distributiva por la izquierda: A (B + C) = A B + A C para cualesquiera $A,B,C\in \ M_{mn}(K)\,$.
5. Elemento neutro: para cualquier $A\in \ M_{mn}(K)\,$, se verifica IA = A, siendo I la matriz identidad.