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Nociones básicas para la factorización de polinomios

La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de polinomio irreducible, esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.

Podemos ver que:

$x^{6}-5x^{5}+3x^{4}-19x^{3}+30x^{2}=(x-2)x^{2}(x+3)(x^{2}+4x+5)\,\!$

es el polinomio factorizado. Un polinomio está factorizado cuando está expresado como productos de polinomios de menor grado posible es decir de la forma

$x^{n}(x-a)^{m}(ax^{2}+bx+c)^{r}\cdot \cdot \cdot \,\!$

es decir como producto de polinomios de primer grado, y de como máximo de segundo grado cuando no existen soluciones en los reales.

En el ejemplo

$(x-2)x^{3}(x+3)(x^{2}+4x+5)\rightarrow 2,\ -3\,\!$ y $0\,\!$

serían raíces del polinomio.

Factorización de polinomios de segundo grado

Los polinomios de segundo grado $ax^{2}+bx+c\,\!$ se pueden factorizar de esta manera (teniendo en cuenta que tendrá como máximo 2 raíces reales):

• Si el polinomio tiene dos raices $x_{1}\,\!yx_{2}\,\!$ entonces $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!$

Ejemplo

$3x^{2}+9x-30=3(x-2)(x+5)\,\!$

• Si sólo tiene una raíz $x_{1}\,\!$ entonces $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})^{2}\,\!$

Ejemplo

$2x^{2}-28x+98=2(x-7)^{2}\,\!$

• Si no tiene ninguna raíz real, su descomposición constará de dos factores de grado 1 con coeficientes imaginarios.

Ejemplo

$x^{2}+4x+5\,\!$

Factorización de polinomios de grado mayor que dos

Imaginemos que queremos factorizar un polinomio de la forma $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,\!$ Para hacerlo no tenemos la ayuda de una fórmula general como en el caso de los polinomios de 2º grado, para hacerlo no queda más remedio que ir encontrando las raíces una a una:

• Si un polinomio tiene raíces enteras estas tienen que ser divisores del término independiente.
• Si $x_{1}\,\!$ es una raiz del polinomio entonces se divide $P(x)\,\!$ por $(x-x_{1})\,\!$ obtenemos $Q(x)\,\!$ que es un grado menor y repetimos hasta llegar al grado menor posible (que siempre es 1 o máximo 2).

Para hacerlo más cómodo se emplea la regla de Ruffini.yii

Regla de Ruffini

Seguramente esto ya se ha visto anteriormente, por lo que aquí solamente lo refrescaremos.

Tenemos un polinomio como este $7x^{4}-5x^{3}-4x^{2}+6x-1\,\!$ y queremos dividirlo por $x-2\,\!$

${\begin{array}{r|rrrrr}&7&-5&-4&6&-1\\2&&14&18&28&68\\\hline &7&9&14&34&67\end{array}}$

$2\cdot 7=14\,\!$ $-5+14=9\,\!$ $2\cdot 9=18\,\!$ $-4+18=14\,\!$ $2\cdot 14=28\,\!$ $6+28=34\,\!$ $2\cdot 34=68\,\!$ $-1+68=67\,\!$

El resultado significa que el cociente de la división $C(x)=7x^{3}+9x^{2}+14x+34\,\!$ y el resto es $67\,\!$

Teorema del resto

Imaginemos que hacemos la división de un polinomio $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,\!$ por $(x-t)\,\!$ y nos da un resto que llamaremos $r\,\!$, bien pues si hiciesemos $x=t\,\!$ en el polinomio es decir $P(t)\,\!$ el resultado sería $r\,\!$ es decir $P(t)=r\,\!$ Eoo

Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.

Demostración

$P(x)\,\!$ $x-t\,\!$ $r\,\!$ $C(x)\,\!$

$P(x)=(x-t)C(x)+r\,\!$ $P(t)=(t-t)C(t)+r=0\cdot C(t)+r=r\,\!$

Localización de las raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio $P(x)\,\!$ con raíces entera y queremos encontrarlas, para hacerlo tenemos que ir probando de dividirlo por $x-a\,\!$, pero ¿qué valor puede tomar $a\,\!$? pues tiene que ser un divisor del termino independiente.

Intuitivamente podemos ver que tenemos que conseguir el opuesto del termino idependiente para hacerlo no queda mas remedio que multiplicar algo por a, por eso es necesario que a sea un divisor del termino independiente, ya que el termino independiente tiene que ser multiplo de $a\,\!$.

Procedimiento para la factorización de un polinomio

Para factorizar un polinomio aplicaremos Ruffini sucesivamente hasta que nos quede un polinomio de segundo grado, cuando estemos en este punto aplicaremos la fórmula y obtendremos las dos últimas raíces o si $b^{2}-4ac\,\!$ es negativo sabremos que no lo podemos descomponer más

Ejemplo Tenemos el polinomio siguiente $3x^{6}-3x^{5}-117x^{4}+327x^{3}-210x^{2}\,\!$ y queremos descomponerlo

• Primero sacamos $3$ y $x^{2}\,\!$ factores comunes:

$3x^{6}-3x^{5}-117x^{4}+327x^{3}-210x^{2}=3x^{2}(x^{4}-x^{3}-39x^{2}+109x-70)\,\!$

• Ahora aplicamos Ruffini, los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ {\mbox{etc.}}\,\!$ Empezaremos probando con el $1\,\!$

	1	-1	-39	109	-70
1		1	0	-39	70
	1	0	-39	70	0

El resto es cero, fantástico, eso quiere decir que hemos encontrado una de las raíces. $3x^{6}-3x^{5}-117x^{4}+327x^{3}-210x^{2}=3x^{2}(x^{4}-x^{3}-39x^{2}+109x^{-}70=\,\!$

$=3x^{2}(x-1)(x^{3}-39x+70)\,\!$

• Seguimos aplicando Ruffini, probamos con 1

1 0 -39 70 1   1 1 -38 1 1 -38 32

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

1 0 -39 70 -1   -1 1 38 1 -1 -38 108

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

1 0 -39 70 2   2 4 70 1 2 -35 0

Fantastico, ya hemos encontrado otra raíz con lo cual el polinomio quedará de la siguiente forma:

$3x^{6}-3x^{5}-117x^{4}+327x^{3}-210x^{2}=3x^{2}(x^{4}-x^{3}-39x^{2}+109x^{-}70=\,\!$

$=3x^{2}(x-1)(x^{3}-39x+70)=3x^{2}(x-1)(x-2)(x^{2}+2x-35)\,\!$

• Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula para resolver polinomios de 2º grado:

$x^{2}+2x-35=0\rightarrow x={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\cdot (-35)}}}{2}}={\frac {-2\pm 12}{2}}={\begin{cases}x_{1}=-7\\x_{2}=5\end{cases}}$

Vemos que $2^{2}-4\cdot (-35)=144>0\,\!$ con lo cual podemos descomponer el polinomio y que sus raíces son 5 y -7. Entonces:

$3x^{6}-3x^{5}-117x^{4}+327x^{3}-210x^{2}=3x^{2}(x^{4}-x^{3}-39x^{2}+109x^{-}70=\,\!$

$=3x^{2}(x-1)(x^{3}-39x+70)=3x^{2}(x-1)(x-2)(x^{2}+2x-35)=\,\!$

$=3x^{2}(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

• Ya hemos descompuesto el polinomio. Ya que todos los factores son de primer grado