Álgebra/Capítulos a reubicar/Ecuación de la Línea Recta

Función Lineal

Una función $y=f(x)$ es lineal si tiene la forma $y=mx+n$, donde $m,n\in \mathbb {R}$ y $m\neq 0$.

La gráfica de una función lineal es una recta cuyos elementos son:

• $m$: pendiente de la recta. Es la inclinación de la recta respecto al eje horizontal
• $n$: coeficiente de posición. Es el punto donde la recta corta al eje vertical

Los posibles gráficos para una recta del tipo $y=mx+n$ son:

Recta Creciente

Recta Constante

Recta Decreciente

Formas de una Función Lineal

La ecuación de una recta $y=mx+n$ se conoce como la forma principal de la recta, mientras que la ecuación de la recta dada por $ax+by+c=0$ se conoce como la forma general de la recta.

Gráfica de una Recta

Para graficar una función lineal de la forma $y=ax+b$ se deben analizar su pendiente y el coeficiente de posición.

Escribimos la función en la forma $y={\frac {p}{q}}x+b$, y se sigue lo siguiente

• Se dibuja el coeficiente de posición
• Si ${\frac {p}{q}}>0$, desde el coeficiente de posición $b$ se traslada el punto $q$ unidades a la derecha, de manera horizontal, y $p$ unidades hacía arriba, de manera vertical.
• Si ${\frac {p}{q}}<0$, desde el coeficiente de posición $b$ se traslada el punto $q$ unidades a la derecha, de manera horizontal, y $p$ unidades hacía abajo, de manera vertical.

Ejemplo

Queremos graficar la función $y=-{\frac {2}{3}}x+2$

Sol:

Aprendiendo a graficar una recta analizando su pendiente y coeficiente de posición

Cómo encontrar la ecuación de una recta

Para determinar la ecuación de la recta, tenemos dos casos:

Recta Punto-Punto

Si conocemos dos puntos por donde pasa una recta, digamos que los puntos $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$, la ecuación de la recta que pasa por ellos está dada por

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})$

El número $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ es la pendiente de la recta.

Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta, en sus formas principal y general, que pasa por los puntos $(3,4),(1,-2)$.

Sol:

Ecuación de la recta dados dos puntos

Recta Punto Pendiente

Si conocemos la pendiente de la recta, $m$, y un punto en ella, $(x_{1},y_{1})$, la ecuación de la recta está dada por

$y=m(x-x_{1})+y_{1}$

Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta, en sus formas principal y general, con pendiente $m=-2$ y que pasa por el punto $(-1,3)$.

Sol:

Recta Punto Pendiente

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Diremos que dos rectas son paralelas siempre que sus pendientes sean iguales.

Es decir, las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$ son paralelas siempre que sus pendientes $m_{1}$ y $m_{2}$ sean iguales.

Escribimos $L_{1}\parallel L_{2}\leftrightarrow m_{1}=m_{2}$.

Ejemplo

Determinar la recta que pasa por el punto $(2,-1)$ y es paralela a la recta de ecuación $x-2y+4=0$.

Sol:

Rectas Paralelas

Rectas Perpendiculares

Diremos que dos rectas son perpendiculares siempre que el producto de sus pendientes sea igual a $-1$.

Es decir, las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$ son perpendicualres siempre que el producto de sus pendientes $m_{1}$ y $m_{2}$ sea igual a $-1$.

Escribimos $L_{1}\perp L_{2}\leftrightarrow m_{1}\cdot m_{2}=-1$.

Ejemplo

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0,-1)$ y que es perpendicular a la recta de ecuación $-2x+3y-4=0$.

Sol:

Rectas Perpendiculares