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Parte I: Teoría de grupos

Capítulo 1: Introducción a la teoría de grupos

Semigrupos, monoides y grupos

Definición 1.1: Sea $S$ un conjunto. Una aplicación

$*:S\times S\longrightarrow S$

se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en $S$. La imagen de cualquier par $(a,b)$ bajo la operación $*$ se representa por $a*b$, en lugar de $*((a,b))$ o de $*(a,b)$. Cuando el símbolo que representa la operación es $\cdot$, entonces la imagen de $(a,b)$ bajo la operación $\cdot$ suele representarse también por $ab$.

Una operación binaria $*$ sobre un conjunto $S$ se dice asociativa si

$(a*b)*c=a*(b*c)$

para cualesquiera $a,b$ y $c$ de $S$. Cuando para cualesquiera $a,b$ de $S$ se cumple $a*b=b*a$, se dice que la operación $*$ es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo $+$ para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos $\cdot$ o $+$ para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.

Definición 1.2: Sea $G$ un conjunto y $\cdot$ una operación binaria en $G$. Se dice que el par $(G,\cdot )$ es un semigrupo si la operación $\cdot$ es asociativa. Si, además, existe un elemento $e\in G$ tal que

$ae=ea=a,$

entonces el par $(G,\cdot )$ se llama un monoide.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide $(G,\cdot )$ simplemente como el monoide $G$, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento $e$ aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide $G$, y es único, pues si $e'$ fuera otro elemento de $G$ con las mismas propiedades, entonces $e=ee'=e'$. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por $|G|$ al cardinal de un monoide $G$. Si $a$ es el elemento de un monoide $G$ y $n\in \mathbb {Z}$ es un entero positivo, definimos

$a^{n}=a\cdots a\qquad (n\ {\mbox{factores}}),$

Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos $na$ en lugar de $a^{n}$.

Sea $G$ un monoide y $a_{1}\ldots a_{n}$ elementos de $G$ con $1<n\in \mathbb {Z}$. Se define inductivamente el producto de $a_{1}\ldots a_{n}$ como

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdots a_{n}=(a_{1}\cdots a_{n-1})a_{n}.$

Definimos

$\prod _{i=1}^{0}a_{i}=1.$

Con estas definiciones, se cumple el

Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea $G$ un monoide y $a_{1},\ldots ,a_{m},$ $a_{m+1},\ldots ,a_{m+n}$ elementos de $G$. Entonces

$\prod _{i=1}^{m}a_{i}\cdot \prod _{j=1}^{n}a_{j+m}=\prod _{i=1}^{m+n}a_{i}.$

Demostración: Por inducción sobre $n$. Para $n=0$ es evidente. Supuesto cierto para $n$, vemos que

$\prod _{i=1}^{m+n+1}a_{i}$	$~=$	$\prod _{i=1}^{m+n}a_{i}\cdot a_{m+n+1}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{m}a_{i}\cdot \prod _{j=1}^{n}a_{j+m}\cdot a_{m+n+1}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{m}a_{i}\cdot \prod _{j=1}^{n+1}a_{j+m},$

lo que demuestra el teorema.

$\blacksquare$

Se dice que un monoide $G$ es conmutativo si su operación es conmutativa.

Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea $G$ un monoide conmutativo y $a_{1}\ldots a_{n}$ elementos de $G$. Sea $\varphi$ una aplicación del conjunto $\{1,\ldots ,n\}$ sobre sí mismo. Entonces

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}$

Demostración: Por inducción sobre $n$. Para $n=1$ es evidente. Supóngase cierto para $n-1$. Sea $k$ el entero tal que $\varphi (k)=n$. Entonces,

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}$	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\phi (i)}\cdot a_{\phi (k)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\phi (k+i)}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\phi (i)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\phi (k+i)}\cdot a_{\phi (k)}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\phi (i)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\phi (k+i)}\cdot a_{n}.$

Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación $\theta$ por

$\theta (i)=\phi (i)\quad$		${\mbox{si}}\ i<k,$
$\theta (i)=\phi (i+1)\quad$		${\mbox{si}}\ i\geq k.$

Así tenemos que

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}$	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\theta (i)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\theta (k-1+i)}\cdot a_{n}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{n-1}a_{\theta (i)}\cdot a_{n}$

donde $\prod _{i=1}^{n-1}a_{\theta (i)}=\prod _{i=1}^{n-1}a_{i}$ por hipótesis de inducción, y así

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}.$

Definición 1.5: Sea $G$ un monoide. Un elemento $a$ de $G$ se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento $b$, llamado inverso izquierdo de $a$ (resp. inverso derecho de $a$), tal que $ba=1$ (resp. $ab=1$). Se llama invertible a un elemento $a$ que es invertible por ambos lados.

Si un elemento $a$ de un monoide $G$ es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si $b$ y $c$ son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de $a$, entonces $b=b\cdot 1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c$.

Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide $G$ cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo $a$ de $G$ existe $b$ de $G$ tal que

$ab=ba=1.$

El elemento $b$ aludido en la definición anterior se llama inverso de $a$ y es único, pues si $b'$ es otro inverso de $a$, entonces $b=b(ab')=(ba)b'~=~b'$. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de $a$ se denota, respectivamente, por $a^{-1}$ y $-a$.

Se define

$a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ {\mbox{factores}}).$

En notación aditiva se escribe $-na$ en lugar de $a^{-n}$.

Un grupo $G$ en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que $ab=ba$ para cualesquiera $a$ y $b$ de $G$, se dice grupo abeliano.

El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos

Teorema 1.7: Sea $G$ un grupo y $a,b,c$ elementos de $G$. Se cumplen

(G-1) $aa=a$ implica $a=1$

(G-2) $ab=ac$ implica $b=c$

(G-3) $(a^{-1})^{-1}=a$

(G-4) $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

(G-5) $(a_{1}\cdots a_{n})^{-1}=a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$

Demostración: (G-1) Si $aa=a$, entonces $a=a(aa^{-1})=(aa)a^{-1}=aa^{-1}=1$. (G-2) Si $ab=ac$, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por $a^{-1}$ se obtiene $b=c$. (G-3) $(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a$. (G-4) $(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1$, de modo que $b^{-1}a^{-1}$ es inverso de $ab$, pero éste es único, así es que ha de ser $b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}$. (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.

$\blacksquare$

Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.

Teorema 1.8: Un semigrupo $G$ es un grupo si y sólo si

1. existe una identidad por la izquierda $1$ tal que para todo elemento $a$ de $G$, $1a=a$;
2. todo elemento $a$ de $G$ tiene un inverso por la izquierda $a^{-1}$.

Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte, $G$ cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de

$(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},$

se deduce que $aa^{-1}=1$, por lo que $a^{-1}$ es también inverso de $a$ por la derecha. Además, $a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a$, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en $G$, luego $G$ es un grupo.

$\blacksquare$

Teorema 1.9: Un semigrupo $G$ es un grupo si y sólo si para cualesquiera $a$ y $b$ de $G$ las ecuaciones

$ax=b\qquad {\mbox{y}}\qquad ya=b$

tienen soluciones únicas en $G$.

Demostración: Si $G$ es un grupo, entonces las soluciones de $ax=b$ y $ya=b$ en $G$ son $x=a^{-1}b$ y $y=ba^{-1}$. Recíprocamente, si $G$ es un semigrupo en el que las ecuaciones $ax=b$ y $ya=b$ tienen soluciones únicas, entonces, tomando $a=b$, tenemos que existen $e$ y $e'$ tales que

$ae=a\qquad {\mbox{y}}\qquad e'a=a,$

y si $g$ es un elemento cualquiera de $G$, entonces también existen $r$ y $s$ de $G$ tales que

$as=g\qquad {\mbox{y}}\qquad ta=g,$

de modo que

$ge=(ta)e=t(ae)=ta=g$

(1.1)

y

$e'g=e'(as)=(e'a)s=as=g.$

(1.2)

Puesto que $g$ es cualquier elemento de $G$, podemos tomar $g=e'$ en (1.1)

y $g=e$ en (1.2)

, obteniendo $e'e=e'$ y $e'e=e$, luego $e=e'$ es la identidad de $G$. Ahora, si $a'$ y $a''$ son las soluciones de $ax=e$ y $ya=e$, entonces $a'$ y $a''$ son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de $a$, y como vimos, debe de ser $a'=a''$. Esto prueba que $G$ es un grupo.

$\blacksquare$

Homomorfismos

Definición 1.10: Sean $G$ y $H$ dos grupos. Una aplicación $f:G\longrightarrow H$ se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si

$~f(ab)=f(a)f(b)$

para todo $a$ , $b$ de $G$.

Es claro que si $f:G\longrightarrow H$ y $g:H\longrightarrow K$ son homomorfismos entonces $g\circ f:G\longrightarrow K$ es un homomorfismo.

Teorema 1.11: Sean $G$ y $H$ dos grupos y $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo. Se cumple que

1. si $1_{G}$ y $1_{H}$ son las identidades de $G$ y $H$, respectivamente, entonces $f(1_{G})=1_{H}$;
2. si $a\in G$ entonces $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$.

Demostración: En efecto, pues $f(1_{G})=f(1_{G}\cdot 1_{G})=f(1_{G})f(1_{G})$, lo que implica $f(1_{G})=1_{H}$. Además, $f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(1_{G})=1_{H}$, luego $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$.

$\blacksquare$

Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo $G$ en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo $G$ en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos $G$ y $H$ se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por $G\cong H$. Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para $G$ respecto de su operación de grupo vale también para $H$ respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista $G$ y $H$ sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico $G$ y $H$ son el mismo objeto.

Sea $G$ un grupo. Denotaremos por ${\mbox{Aut}}\ G$ al conjunto de todos los automorfismos del grupo $G$. Puede probarse que ${\mbox{Aut}}G$ es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.

Definición 1.12: Sean $G$ y $H$ dos grupos y sea $f$ un homomorfismo entre ellos. El núcleo de $f$ se define como el conjunto

$\ker f=\{a\in G\mid f(a)=1_{H}\},$

donde $1_{H}$ es la identidad de $H$.

Teorema 1.13: Sean $G$ y $H$ dos grupos cualesquiera. La aplicación $f:G\longrightarrow H$ es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y $~\ker f=1$.

Demostración: Si $f:G\longrightarrow H$ es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento $a$ de $G$ tal que $f(a)=1_{H}$, y por el teorema 1.11, ese elemento es $1_{G}$, de modo que $\ker f=\{1_{G}\}$. Recíprocamente, si $\ker f=\{1_{G}\}$ y $f(a)=f(b)$, entonces $1_{H}=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})$, lo que implica $ab^{-1}\in \ker f$, luego $ab^{-1}=1_{G}$ y así $a=b$, por lo que $f$ es inyectiva y con ello un monomorfismo.

$\blacksquare$

El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo $f$ entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso $f$ es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).

Grupos generados y grupos cíclicos

Si $H$ y $K$ son dos subgrupos de un grupo $G$, es fácil ver que $H\cap K$ es de nuevo un subgrupo de $G$. Más aún, si $\{G_{i}\}_{i\in I}$ es una familia de subgrupos de $G$, entonces $\bigcap _{i\in I}G_{i}$ es también un subgrupo de $G$.

Definición 1.16: Sea $G$ un grupo y $S\subseteq G$. Se llama subgrupo generado por $S$ a la intersección de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $S$, y se representa por $\left\langle S\right\rangle$. Es decir,

$\left\langle S\right\rangle =\bigcap G_{i},$

donde $G_{i}$ es cualquier grupo que contenga al conjunto $S$. Cuando $S$ sea un conjunto finito, digamos $\{a_{1},\ldots a_{n}\}$, escribiremos también $\left\langle a_{1},\ldots a_{n}\right\rangle$ en lugar de $\left\langle S\right\rangle$.

Equivalentemente, tenemos que $\left\langle S\right\rangle$ se puede definir como el menor subgrupo de $G$ que contiene a $S$.

En realidad, es posible saber explícitamente la forma que tienen los elementos de $\left\langle S\right\rangle$:

Teorema 1.17: Sea $G$ un grupo y $S\subseteq G$. Defínase $S^{-1}=\{a^{-1}\mid a\in S\}$. Entonces $\left\langle S\right\rangle$ es el grupo formado por todos los elementos que son el producto de un número finito de elementos de $S$ o de $S^{-1}$. En otras palabras,

$\left\langle S\right\rangle =\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\cup S^{-1}\}.$

Demostración: Sea $H=\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\cup S^{-1}\}$. Sean $a$ y $b$ elementos de $H$, de modo que

$a=a_{1}\cdots a_{n}\qquad {\mbox{y}}\qquad b=b_{1}\cdots b_{n},$

donde $a_{i}\in S$ o $a_{i}\in S^{-1}$ y $b_{i}\in S$ o $b_{i}\in S^{-1}$ para todo $i\in \{1,\ldots ,n\}$. El hecho de que $ab^{-1}\in H$ se sigue inmediatamente de (G-5) del teorema 1.7, así que $H$ es un grupo que además, como es claro, contiene a $S$, de modo que $\left\langle S\right\rangle \subseteq H$, pero también es claro que $H\subseteq \left\langle S\right\rangle$ (pues los elementos de $S$ y sus inversos están en $\left\langle S\right\rangle$, luego cualquier producto entre ellos estará también en $\left\langle S\right\rangle$), por lo que termina siendo $\left\langle S\right\rangle =H$.

$\blacksquare$

El teorema siguiente es un caso particular del teorema anterior.

Teorema 1.18: Sea $G$ un grupo finito y $S\subseteq G$. Entonces

$\left\langle S\right\rangle =\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\}.$

Demostración: Si $G$ es finito, las potencias $a^{1}$, $a^{2}$, $a^{3},\ldots$ de cualquier $a$ de $G$ no pueden ser todas diferentes, por lo que deben existir enteros $m>n$ tales que $a^{m}=a^{n}$, o sea que $a^{m-n}=1$ (donde $m-n>0$), de lo que se sigue $a^{m-n-1}=a^{-1}$ (con $m-n-1\geq 0$). Esto significa que todo elemento $a$ de $S$ tiene su inverso en $\{a_{1}\cdots a_{n}\mid a_{1},\ldots ,a_{n}\in S\}$, pues éste puede expresarse como un producto de elementos de $S$.

$\blacksquare$

Como consecuencia inmediata del teorema 1.17 tenemos también que

Corolario 1.19: Sea $G$ un grupo y $g\in G$. Entonces

$\left\langle g\right\rangle =\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}.$

Definición 1.20: Si $G$ es un grupo y $a$ es un elemento de $G$ tal que $\left\langle a\right\rangle =G$, i.e. si $G$ es generado por un sólo elemento suyo $a$, se diceque $G$ es un grupo cíclico. Más en general, si $\left\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\right\rangle =G$ con cada $a_{i}$ en $G$, se dice que $G$ es un grupo finitamente generado.

Como un ejemplo de grupo cíclico, tenemos al grupo aditivo $\mathbb {Z}$ generado por su unidad $1$ (aunque también puede ser generado por $-1$). Se trata de un grupo cíclico infinito, al igual que lo es el grupo aditivo

$2\mathbb {Z} =\{2n\mid n\in \mathbb {Z} \}$.

cuyo generador es $2$. En general, $n\mathbb {Z} =\{nk\mid n\in \mathbb {Z} \}$ forma un grupo cíclico infinito respecto de la adición, y cuyo generador es $n$. Es muy fácil notar que $(n\mathbb {Z} ,+)$ y $(\mathbb {Z} ,+)$ son isomorfos, siendo la aplicación $f:n\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z}$, dada por

$f(nk)=k\qquad {\mbox{para todo}}\ k\in \mathbb {Z} ,$

el isomorfismo entre ellos.

Otro ejemplo de grupo cíclico es el grupo aditivo $\mathbb {Z} _{n}$, cuyos elementos son las clases de equivalencia $[1]\ldots [n]$ surgidas a partir de la relación de congruencia módulo $n$ ($\equiv \ ({\mbox{mod}}\ n)$) sobre $\mathbb {Z}$. Se trata en este caso de un grupo cíclico finito de orden $n$.

Un ejemplo más de grupo cíclico: el grupo multiplicativo $\{-1,1,-i,i\}$, generado por $i={\sqrt {-1}}$ (o también por $-i$).

Archivo:Grupos ciclicos 1.svg

Figura: $~i$ genera al grupo multiplicativo $~\{-1,1,i,-i\}$

El lector puede verificar que, como un hecho más general, el grupo multiplicativo de las $n$ raíces complejas de la unidad, $1$, es un grupo cíclico.

A parte del corolario 1.19, hay otro hecho característico de los grupos cíclicos que nos va a interesar:

Teorema 1.21: Sea $G$ un grupo y $a$ un elemeno de $G$. Entonces, si $\left|\left\langle a\right\rangle \right|=m$, el grupo $\left\langle a\right\rangle$ consiste de los elementos $1,a,a^{2},\ldots ,a^{m-1}$ y $a^{r}=a^{s}$ si y sólo si $r\equiv s\ ({\mbox{mod}}\ m)$.

Demostración: Por el corolario 1.19, existe el menor entero $n$ tal que $a^{n}=1$. Vemos entonces que los elementos $1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}$ son todos distintos, pues si $a^{i}=a^{j}$ con $i<j<n$, entonces $a^{j-i}=1$ con $0<j-i<n$, pero hemos supuesto que $n$ es el menor entero que cumple $a^{n}=1$. Luego vemos que $a^{n}=1$, $a^{n+1}=a$, $a^{n+2}=a^{2}$, etc., de modo que las potencias de $a$ comienzan a repetirse a partir de $a^{n-1}$ y así $\left\langle a\right\rangle =\{1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\}$ con $n=m=\left|\left\langle a\right\rangle \right|$. Además se observa que $a^{km+r}=a^{km}a^{r}=(a^{m})^{k}a^{r}=1^{k}\cdot a^{r}=a^{r}$ para cualesquiera enteros $k$ y $r$, de modo que $a^{r}=a^{s}$ si y sólo si $r\equiv s\ ({\mbox{mod}}\ m)$.

$\blacksquare$

Por el teorema anterior, tenemos que si $\left|\left\langle a\right\rangle \right|=m$ y $a^{n}=1$, entonces $m\mid n$.

Otra consecuencia del corolario 1.19 es que todo grupo cíclico es abeliano. En efecto, pues dos elementos de un grupo $\left\langle a\right\rangle$ son de la forma $a^{r}$ y $a^{s}$, y

$a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s}=a^{s+r}=a^{s}\cdot a^{r}.$

Uno de nuestros propósitos principales en nuestro estudio de la teoría de grupos es determinar explícitamente las características de los subgrupos de un grupo dado. Para un grupo cualquiera, esta tarea resulta bastante complicada, y no podremos confrontarla realmente hasta después de haber obtenido una buena cantidad de resultados a cerca de grupos. Sin embargo, cuando el grupo en cuestión es cíclico, esta tarea resulta mucho más sencilla.

Teorema 1.22: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Demostración: Sea $G=\langle a\rangle$ un grupo cíclico. Si $H\leq G$, entonces existen dos posibilidades: que $H$ sea trivial, en cuyo caso $H=\langle 1\rangle$, o que exista un entero positivo mínimo $n$ tal que $a^{n}\in H$. En este último caso, claramente $\langle a^{n}\rangle \subseteq H$. Ahora bien, si $h\in H$, entonces $h$ es de la forma $a^{m}$ pues $H$ es un subgrupo de $G$, y por el algoritmo de la división tenemos que $a^{m}=a^{nq+r}=a^{nq}a^{r}$, con $q,r\in \mathbb {Z}$ y $0\leq r<n$, o sea que

$a^{r}=a^{-nq}a^{m}\in H,$

por lo que sólo puede ser $r=0$ ya que hemos supuesto que $n$ es el menor entero positivo para el cual $a^{n}\in H$, así que todo elemento $h$ de $H$ es de la forma $a^{qn}$, luego $H\subseteq \langle a^{n}\rangle$, y así concluimos que $H=\langle a^{n}\rangle$, lo que demuestra el teorema.

$\blacksquare$

Como caso particular, tenemos que todo subgrupo del grupo aditivo $\mathbb {Z}$ es cíclico. Para ser exactos, todo subgrupo $H$ de $\mathbb {Z}$ es de la forma $n\mathbb {Z}$, donde, según el teorema anterior, $n$ es el menor entero positivo de $H$.

Mostraremos ahora que, esencialmente, los únicos grupos cíclicos son el grupo aditivo (infinito) $\mathbb {Z}$ y los grupos aditivos (finitos) de la forma $\mathbb {Z} _{n}$.

Teorema 1.23 (Teorema de clasificación de grupos cíclicos): Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo $(\mathbb {Z} ,+)$, y todo grupo cíclico finito de orden $n$ es isomorfo al grupo $(\mathbb {Z} _{n},+)$.

Demostración: Sea $G=\langle a\rangle$ un grupo cíclico. La aplicación $\mathbb {Z} \longrightarrow G$ dada por

$f(n)=a^{n}$

es un epimorfismo de grupos (lo cual puede verificar el lector) por el teorema <<Teorema pendiente>>. Por lo tanto, existen las siguientes dos posibilidades:

1. $\ker f=0$, en cuyo caso $f$ es un isomorfismo por el teorema 1.13.
2. $\ker f$ contiene un menor entero positivo $n$, y por el teorema 1.22, $\ker f=n\mathbb {Z}$, pues $\ker f\leq \mathbb {Z}$. En este caso, podemos definir una aplicación $g:\mathbb {Z} _{n}\longrightarrow G$ dada por

$g\left([n]\right)=a^{n}.$

Esta aplicación está bien definida, pues $a^{r}=a^{s}$ si y sólo si $a^{r-s}=1_{G}$ (con $1_{G}$ la unidad de $G$), es decir, si y sólo si $r-s\in \ker f=n\mathbb {Z}$, lo que equivale a que $[r]=[s]\in \mathbb {Z} _{n}$ (pues $n\mid (r-s)$). Es claro que $g$ es un epimorfismo de grupos. Pero $g$ es además un monomorfismo de grupos, ya que $g\left([a]\right)=1_{G}=a^{0}$ si y sólo si $a^{k}=a^{0}$, lo que equivale a $[a]=[0]$, luego $\ker f=[0]$. Esto demuestra que $g$ es un isomorfismo.

$\blacksquare$

Así pues, tenemos que un grupo cíclico es, o isomorfo a $(\mathbb {Z} ,+)$ (en cuyo caso el grupo en cuestión es infinito), o isomorfo a un grupo de la forma $(\mathbb {Z} _{n},+)$ (en cuyo caso el grupo en cuestión es finito y de orden $n$), luego hemos clasificado a todos los grupos cíclicos. En términos algebraicos, esto quiere decir que los únicos grupos cíclicos son $(\mathbb {Z} ,+)$ y $(\mathbb {Z} _{n},+)$, pues todos los demás grupos cíclicos son isomorfos a ellos, y en realidad no existe ninguna distinción algebraica entre dos grupos isomorfos.

Álgebra/Teoría de grupos/Grupos de permutaciones

Clases laterales

Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.

Nos serán útiles los conceptos siguientes:

Definición 1.24: Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Diremos que dos elementos $a$ y $b$ de $G$ son congruentes por la izquierda módulo $H$ si $a^{-1}b\in H$. Este hecho lo representaremos por $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$. Similarmente, $a$ y $b$ serán congruentes por la derecha si $ab^{-1}\in H$, y lo denotaremos por $a\equiv _{d}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$.

Las relaciones de congruencia módulo un subgrupo $H$ por la izquierda y por la derecha son relaciones de equivalencia. Probaremos esto para el caso de la relación $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$. Si $G$ es un grupo y $H\leq G$, entonces $a\equiv _{i}\ a\ ({\mbox{mod}}\ H)$, pues $a^{-1}a=1\in H$, luego $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ es reflexiva. Si $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$, entonces también $(a^{-1}b)^{-1}\in H$, pero $(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a$, de modo que $b\equiv _{i}\ a\ ({\mbox{mod}}\ H)$ y $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ es simétrica. Si $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$ y $b\equiv _{i}\ c\ ({\mbox{mod}}\ H)$, entonces también $(a^{-1}b)(b^{-1}c)\in H$, y como $(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c$, tenemos que $a\equiv _{i}\ c\ ({\mbox{mod}}\ H)$, y con ello $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ es transitiva. Esto prueba que la relación de congruencia módulo $H$ es una relación de equivalencia.

Tenemos entonces que, si $G$ es un grupo y $H\leq G$, las relaciones de congruencia $\equiv _{i}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ y $\equiv _{d}\ ({\mbox{mod}}\ H)$ definen cada cual una partición del grupo $G$ en clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento $a$ de $G$ por la relación de congruencia módulo $H$ por la izquierda es el conjunto

$aH=\{ah\mid h\in H\}.$

Efectivamente, pues si $b$ es uno de los elementos de la clase de equivalencia de $a$ por esta relación de congruencia, $a\equiv _{i}\ b\ ({\mbox{mod}}\ H)$, es decir, $a^{-1}b=h$ para cierto $h$ de $H$, lo que equivale a que $b=ah$. Similarmente se prueba que la clase de equivalencia de un elemento $a$ de $G$ por la relació de congruencia módulo $H$ por la derecha es el conjunto

$Ha=\{ha\mid h\in H\}$.

Llamaremos clase lateral izquierda de $a$ y clase lateral derecha de $a$ según el subgrupo $H$ a los conjuntos $aH$ y $Ha$, respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales $aH$ (con $a\in G$) lo representaremos por $\left(G/H\right)_{i}$, mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales $Ha$ lo representaremos por $\left(G/H\right)_{d}$

Tanto $aH$ como $Ha$ tienen cardinal igual a $|H|$, pues, por ejemplo, la aplicación

${\begin{array}{rcl}f:aH&\longrightarrow &H\\ah&\mapsto &h\end{array}}$

es claramente biyectiva, luego $|aH|=|H|$. Más aún, también es cierto que

$\left|(G/H)_{i}\right|=\left|(G/H)_{d}\right|,$

La prueba de esto es que la aplicación $f:(G/H)_{i}\longrightarrow (G/H)_{d}$ dada por

$f(aH)=Ha^{-1}$

está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.

Definición 1.25: Sea $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de $G$. Llamaremos índice de $H$ en $G$ al cardinal $\left|(G/H)_{i}\right|=\left|(G/H)_{d}\right|$. Lo representaremos por

$[G:H]\,\!$

Por todo lo anterior, tenemos que se cumple el siguiente hecho

Teorema 1.26 (Lagrange): Si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo de $G$, entonces

$[G:H]=|G|/|H|\,\!$,

así que el orden de todo subgrupo $H$ de $G$ es divisor del orden de $G$.

Demostración: Efectivamente, pues hemos visto que todas las clases laterales $aH$ tienen el mismo cardinal $m$ (que es también el cardinal de cualquier clase $Ha$), y si hay $n=[G:H]$ de estas clases, entonces el orden de $G$ es $nm$.

$\blacksquare$

En realidad el teorema anterior puede generalizarse para grupos no necesariamente finitos:

Teorema 1.27: Sea $G$ un grupo y $K\leq H\leq G$. Entonces

$~[G:K]=[G:H][H:K]$

Demostración: Tenemos que

$G=\bigcup _{i\in I}g_{i}H\qquad {\mbox{y}}\qquad H=\bigcup _{j\in J}h_{j}K,$

donde $g_{i}\in G$ y $h_{j}\in H$ y las clases laterales $g_{i}H\,\!$ son disjuntas entre sí, al igual que lo son las clases $h_{j}K\,\!$. Además, nótese que $|I|=[G:H]\,\!$ y $|J|=[H:K]\,\!$. Tenemos pues que

$G=\bigcup _{i\in I}g_{i}\left(\bigcup _{j\in J}h_{j}K\right)=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}g_{i}h_{j}K.$

(1.3)

Vamos a probar ahora que las clases laterales $g_{i}h_{j}K$ son disjuntas, es decir, que $g_{i}h_{j}K=g_{r}h_{s}K$ si y sólo si $i=r$ y $j=s$. Supóngase pues que $g_{i}h_{j}K=g_{r}h_{s}K$, de modo que

$~g_{i}h_{j}=g_{r}h_{s}k$

para cierto $k$ de $K$. Ya que $h_{j},h_{s},k\in H$, tenemos que

$~g_{i}=g_{r}h_{t}$

para cierto $h_{t}=h_{s}kh_{j}^{-1}$ de $H$, luego $g_{i}H=g_{r}H$, y entonces $i=r$. Esto da paso a que sea

$~h_{j}=h_{s}k,$

lo cual lleva claramente al hecho de que $h_{j}K=h_{s}K,$, luego también $j=s$ y así la unión (1.3)

es de clases mutuamente disjuntas, lo que implica que 

$~[G:K]=|I\times J|=|I||J|=[G:H][H:K]$

y el teorema queda demostrado.

$\blacksquare$

Ahora el teorema 1.26 se convierte en un caso particular del teorema 1.27 cuando $G$ es finito y tomando $K=1$.

Sea $G$ un grupo y $H,K\subseteq G$. Se define

$HK=\{ab\mid a\in H\ \ {\mbox{y}}\ \ b\in K\}.$

(Este conjunto puede no ser un grupo aún cuando $H$ y $K$ lo sean). Si, por ejemplo, $H=\{a\}$ y $K\leq G$, entonces $HK$ es la clase lateral izquierda de $a$ según el subgrupo $K$. Si $H\leq G$ y $K\subseteq H$, notar que $HK=H$.

Teorema 1.28 Si $H$ y $K$ son subgrupos finitos de un grupo $G$, entonces

$|HK|={\frac {|H||K|}{|H\cap K|}}.$

Demostración: Si $H,K\leq G$, entonces $H\cap K$ es también un subgrupo de $G$, aunque también lo es de ambos $K$ y $H$, así que

$H=\bigcup _{i\in I}h_{i}(H\cap K),$

(1.4)

siendo esta unión disjunta y $|I|=[H:H\cap K]$. Si multiplicamos (1.4)

por $K$ y teniendo en cuenta que $(H\cap K)K=K$, obtenemos

$HK=\bigcup _{i\in I}h_{i}K,$

siendo esta unión igualmente disjunta (pues si no lo fuera tampoco lo sería (1.4)

). Por tanto, $|HK|=|I||K|=[H:H\cap K]|K|$, pero por el teorema de Lagrange $[H:H\cap K]=|H|/|H\cap K|$, de donde se sigue el resultado que se buscaba.

$\blacksquare$

Subgrupos normales

Si $G$ es un grupo y $H$ es un subgrupo de $G$, no es cierto en general que $aH=Ha$, aunque claramente esto sí sucede cuando $G$ es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo $G$ que cumplen esto mismo sin necesidad de que $G$ sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.

Definición 1.29: Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo de $G$. Se dice que $N$ es normal en $G$ si

$~aN=Na$

para todo $a$ de $G$. Este hecho lo representaremos por $N\trianglelefteq G$.

Equivalentemente tenemos que $N\trianglelefteq G$ si y sólo si

$~aNa^{-1}=N.$

Tenemos pues que si $N\trianglelefteq G$, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo $N$ coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente $(G/N)$. Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.

Teorema 1.30: Sea $G$ un grupo y $N\trianglelefteq G$. Entonces $(G/N)$ es un grupo, llamado grupo cociente de $G$ por $N$, con la operación de grupo dada por

$~aNbN=abN.$

Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en $(G/N)$ dada por $aNbN=abN$ tiene sentido, es decir, que si $a'\in aN$ y $b'\in N$, entonces $abN=a'b'N$. Esto es así, pues

$(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'(bb^{-1})b'=b^{-1}(a^{-1}a')b(b^{-1}b')$

con $a^{-1}a=n_{1}\in N$ y $b^{-1}b\in N$ (pues $a'\in aN$ y $b'\in bN$), así es que $(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}n_{1}bn_{2}$, pero como $N\trianglelefteq G$, también $b^{-1}n_{1}b=n_{3}\in N$, luego $(ab)^{-1}a'b'=n_{3}n_{2}\in N$, y entonces $ab\equiv a'b'\ ({\mbox{mod}}\ N)$, lo que prueba que $abN=a'b'N$. Hemos probado que la operación definida en $(G/N)$ tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de $(G/N)$ es $N$, y el inverso de todo $aN$ de $(G/N)$ es $a^{-1}N$. Con esto queda probado que $(G/N)$ es un grupo.

$\blacksquare$

Si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos, entonces $\ker f\trianglelefteq G$. En efecto, pues si $n\in \ker f$ y $a\in G$, entonces

$f(ana^{-1})=f(a)f(n)f(a^{-1})=f(a)1_{H}f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_{G})=1_{H},\,\!$

luego $ana^{-1}\in \ker f$, así que $a(\ker f)a^{-1}\subseteq \ker f$ para todo $a$ de $G$, luego podemos cambiar $a$ por $a^{-1}$ y así tener que $a^{-1}(\ker f)a\subseteq \ker f$, luego para todo $n$ de $\ker f$ se tiene

$~n=a(a^{-1}na)a^{-1}\in a(\ker f)a^{-1},$

lo que demuestra que $~a(\ker f)a^{-1}=\ker f$, completando la prueba de que $\ker f\trianglelefteq G$.

Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos $f$ es un subgrupo normal del dominio de $f$. Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo $G$ es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es $G$.

Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si $N$ es un subgrupo normal de $G$, la aplicación

${\begin{array}{rcl}\varphi :G&\longrightarrow &(G/N)\\a&\mapsto &aN\end{array}}$

es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que $a\in N$ si y sólo si $aN=N\,\!$, i.e. si y sólo si $a\in \ker \varphi$, tenemos que $N=\ker \varphi \,\!$.

$\blacksquare$

Sea $G$ un grupo y $S\subseteq G$, y defínanse los conjuntos

$aS=\{as\mid s\in S\}\qquad {\mbox{y}}\qquad Sa=\{sa\mid s\in S\}.$

Llamaremos normalizador de $S$ al conjunto

$N_{s}=\{a\in G\mid aS=Sa\}$

Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si $a,b\in N_{s}$ (i.e. si $aS=Sa$ y $bS=Sb$) entonces también $ab\in N_{s}$, y que además $1\in N_{s}$ y $a^{-1}\in N_{s}$.

Si $H$ es un subgrupo de $G$, entonces claramente $H\trianglelefteq N_{H}$. Más aún, $N_{H}$ es el mayor subgrupo de $G$ en el cual $H$ es normal. En otras palabras,

$H\leq K\leq G\ \ {\mbox{y}}\ \ H\trianglelefteq K\qquad {\mbox{implica}}\qquad K\subseteq N_{H}.$

Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si $G$ es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto $S$ de $G$. A este conjunto se le llama centralizador de $S$, y lo denotaremos por $C_{S}$. Así pues,

$C_{S}=\{a\in G\mid as=sa\ \ {\mbox{para todo}}\ \ s\in S\}.$

Notar que

1. $C_{H}\subseteq N_{H}$;
2. $C_{G}=G\,\!$ equivale a decir que $G$ es abeliano.

Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.

Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y $N$ un subgrupo normal de $G$ tal que $N\subseteq \ker f$. Entonces existe un único homomorfismo ${\bar {f}}:(G/N)\longrightarrow H$ tal que ${\bar {f}}\circ \varphi =f$, donde $\varphi :G\longrightarrow (G/N)$ es la proyección canónica. Además:

(1) ${\bar {f}}$ es un epimorfismo si y sólo si $f\,\!$ lo es;

(2) $\ker {\bar {f}}=(\ker f)/N$

(3) ${\bar {f}}$ es un monomorfismo si y sólo si $\ker f=N\,\!$

Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo ${\bar {f}}:(G/N)\longrightarrow H$ es la aplicación dada por

${\bar {f}}(aN)=f(a).$

Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si $bN=aN\,\!$, entonces $a^{-1}b\in N$, y como $N\subseteq \ker f$, también $a^{-1}b\in \ker f$, luego $f(a)=f(b)$. Es fácil ver que ${\bar {f}}$ es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por $f$, es el único homomorfismo que cumple ${\bar {f}}\circ \varphi =f$. (1) es evidente. (2) $\ker {\bar {f}}=\{aN\mid f(a)=1_{H}\}=\{aN\mid a\in \ker f\}=(\ker f)/N$. ${\bar {f}}$ es un monomorfismo si y sólo si $\ker {\bar {f}}=(\ker f)/N$ es el subgrupo trivial de $(G/N)$, es decir, si y sólo si $\ker f=N$.

$\blacksquare$

El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos y $N$ un subgrupo normal de $G$ tal que $N\in \ker f$, entonces existe un único homomorfismo ${\bar {f}}:(G/N)\longrightarrow H$ que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos, entonces $(G/\ker f)\cong {\mbox{Im}}\ f$.

Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo ${\bar {f}}$ entre $(G/\ker f)$ y $H$, que se convierte en epimorfismo si en lugar de $H$ tomamos simplemente ${\mbox{Im}}f\subseteq H$, pero por (3) del teorema anterior ${\bar {f}}$ es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.

$\blacksquare$

Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ y $H$ es un subgrupo cualquiera de $G$, entonces $H\cap N$ es normal en $H$ y $H/H\cap N\cong (NH/N)$.

Demostración: La aplicación

${\begin{array}{rcl}f:H&\longrightarrow &(NH/N)\\h&\mapsto &Nh\end{array}}$

es un epimorfismo, y como $\ker f=\{h\in H\mid Nh=N\}=\{h\in H\mid h\in N\}=H\cap N$, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo ${\bar {f}}:H/H\cap N\longrightarrow (NH/N)$.

$\blacksquare$

Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si $N$ y $H$ son dos subgrupos normales en un grupo $G$, con $N\leq H$, entonces $(G/H)\cong (G/N)/(H/N)$.

Demostración: Sea $\varphi :G\longrightarrow (G/H)$ la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, $\ker \varphi =H$, luego $N\leq \ker \varphi$, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo ${\bar {\varphi }}:(G/N)\longrightarrow (G/H)$, pero $aN\in \ker {\bar {\varphi }}$ si y sólo si $aN=H\,\!$, lo cual sucede si y sólo si $a\in H$, luego $\ker {\bar {\varphi }}=(H/N)$, así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre $(G/N)/(H/N)$ y $(G/H)$.

$\blacksquare$