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Subgrupos normales

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Si   es un grupo y   es un subgrupo de  , no es cierto en general que  , aunque claramente esto sí sucede cuando   es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo   que cumplen esto mismo sin necesidad de que   sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.


Definición 1.29: Sea   un grupo y   un subgrupo de  . Se dice que   es normal en   si

 



para todo   de  . Este hecho lo representaremos por  .


Equivalentemente tenemos que   si y sólo si

 



Tenemos pues que si  , entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo   coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente  . Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.


Teorema 1.30: Sea   un grupo y  . Entonces   es un grupo, llamado grupo cociente de   por  , con la operación de grupo dada por


 



Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en   dada por   tiene sentido, es decir, que si   y  , entonces  . Esto es así, pues

 



con   y   (pues   y  ), así es que  , pero como  , también  , luego  , y entonces  , lo que prueba que  . Hemos probado que la operación definida en   tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de   es  , y el inverso de todo   de   es  . Con esto queda probado que   es un grupo.
 


Si   es un homomorfismo de grupos, entonces  . En efecto, pues si   y  , entonces

 



luego  , así que   para todo   de  , luego podemos cambiar   por   y así tener que  , luego para todo   de   se tiene

 



lo que demuestra que  , completando la prueba de que  .


Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos   es un subgrupo normal del dominio de  . Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo   es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es  .


Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si   es un subgrupo normal de  , la aplicación

 



es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que   si y sólo si  , i.e. si y sólo si  , tenemos que  .
 


Sea   un grupo y  , y defínanse los conjuntos

 



Llamaremos normalizador de   al conjunto

 



Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si   (i.e. si   y  ) entonces también  , y que además   y  .

Si   es un subgrupo de  , entonces claramente  . Más aún,   es el mayor subgrupo de   en el cual   es normal. En otras palabras,

 



Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si   es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto   de  . A este conjunto se le llama centralizador de  , y lo denotaremos por  . Así pues,

 



Notar que

  1.  ;
  2.   equivale a decir que   es abeliano.


Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.


Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea   un homomorfismo de grupos y   un subgrupo normal de   tal que  . Entonces existe un único homomorfismo   tal que  , donde   es la proyección canónica. Además:

(1)   es un epimorfismo si y sólo si   lo es;
(2)  
(3)   es un monomorfismo si y sólo si  


Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo   es la aplicación dada por

 



Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si  , entonces  , y como  , también  , luego  . Es fácil ver que   es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por  , es el único homomorfismo que cumple  . (1) es evidente. (2)  .   es un monomorfismo si y sólo si   es el subgrupo trivial de  , es decir, si y sólo si  .
 

El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si   es un homomorfismo de grupos y   un subgrupo normal de   tal que  , entonces existe un único homomorfismo   que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

 


Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si   es un homomorfismo de grupos, entonces  .


Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo   entre   y  , que se convierte en epimorfismo si en lugar de   tomamos simplemente  , pero por (3) del teorema anterior   es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.
 


Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si   es un subgrupo normal de un grupo   y   es un subgrupo cualquiera de  , entonces   es normal en   y  .


Demostración: La aplicación

 


es un epimorfismo, y como  , el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo  .
 


Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si   y   son dos subgrupos normales en un grupo  , con  , entonces  .


Demostración: Sea   la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31,  , luego  , así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo  , pero   si y sólo si  , lo cual sucede si y sólo si  , luego  , así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre   y  .