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Subgrupos normales

Si $G$ es un grupo y $H$ es un subgrupo de $G$, no es cierto en general que $aH=Ha$, aunque claramente esto sí sucede cuando $G$ es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo $G$ que cumplen esto mismo sin necesidad de que $G$ sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.

Definición 1.29: Sea $G$ un grupo y $N$ un subgrupo de $G$. Se dice que $N$ es normal en $G$ si

$~aN=Na$

para todo $a$ de $G$. Este hecho lo representaremos por $N\trianglelefteq G$.

Equivalentemente tenemos que $N\trianglelefteq G$ si y sólo si

$~aNa^{-1}=N.$

Tenemos pues que si $N\trianglelefteq G$, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo $N$ coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente $(G/N)$. Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.

Teorema 1.30: Sea $G$ un grupo y $N\trianglelefteq G$. Entonces $(G/N)$ es un grupo, llamado grupo cociente de $G$ por $N$, con la operación de grupo dada por

$~aNbN=abN.$

Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en $(G/N)$ dada por $aNbN=abN$ tiene sentido, es decir, que si $a'\in aN$ y $b'\in N$, entonces $abN=a'b'N$. Esto es así, pues

$(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'(bb^{-1})b'=b^{-1}(a^{-1}a')b(b^{-1}b')$

con $a^{-1}a=n_{1}\in N$ y $b^{-1}b\in N$ (pues $a'\in aN$ y $b'\in bN$), así es que $(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}n_{1}bn_{2}$, pero como $N\trianglelefteq G$, también $b^{-1}n_{1}b=n_{3}\in N$, luego $(ab)^{-1}a'b'=n_{3}n_{2}\in N$, y entonces $ab\equiv a'b'\ ({\mbox{mod}}\ N)$, lo que prueba que $abN=a'b'N$. Hemos probado que la operación definida en $(G/N)$ tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de $(G/N)$ es $N$, y el inverso de todo $aN$ de $(G/N)$ es $a^{-1}N$. Con esto queda probado que $(G/N)$ es un grupo.

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Si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos, entonces $\ker f\trianglelefteq G$. En efecto, pues si $n\in \ker f$ y $a\in G$, entonces

$f(ana^{-1})=f(a)f(n)f(a^{-1})=f(a)1_{H}f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_{G})=1_{H},\,\!$

luego $ana^{-1}\in \ker f$, así que $a(\ker f)a^{-1}\subseteq \ker f$ para todo $a$ de $G$, luego podemos cambiar $a$ por $a^{-1}$ y así tener que $a^{-1}(\ker f)a\subseteq \ker f$, luego para todo $n$ de $\ker f$ se tiene

$~n=a(a^{-1}na)a^{-1}\in a(\ker f)a^{-1},$

lo que demuestra que $~a(\ker f)a^{-1}=\ker f$, completando la prueba de que $\ker f\trianglelefteq G$.

Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos $f$ es un subgrupo normal del dominio de $f$. Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo $G$ es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es $G$.

Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si $N$ es un subgrupo normal de $G$, la aplicación

${\begin{array}{rcl}\varphi :G&\longrightarrow &(G/N)\\a&\mapsto &aN\end{array}}$

es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que $a\in N$ si y sólo si $aN=N\,\!$, i.e. si y sólo si $a\in \ker \varphi$, tenemos que $N=\ker \varphi \,\!$.

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Sea $G$ un grupo y $S\subseteq G$, y defínanse los conjuntos

$aS=\{as\mid s\in S\}\qquad {\mbox{y}}\qquad Sa=\{sa\mid s\in S\}.$

Llamaremos normalizador de $S$ al conjunto

$N_{s}=\{a\in G\mid aS=Sa\}$

Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si $a,b\in N_{s}$ (i.e. si $aS=Sa$ y $bS=Sb$) entonces también $ab\in N_{s}$, y que además $1\in N_{s}$ y $a^{-1}\in N_{s}$.

Si $H$ es un subgrupo de $G$, entonces claramente $H\trianglelefteq N_{H}$. Más aún, $N_{H}$ es el mayor subgrupo de $G$ en el cual $H$ es normal. En otras palabras,

$H\leq K\leq G\ \ {\mbox{y}}\ \ H\trianglelefteq K\qquad {\mbox{implica}}\qquad K\subseteq N_{H}.$

Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si $G$ es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto $S$ de $G$. A este conjunto se le llama centralizador de $S$, y lo denotaremos por $C_{S}$. Así pues,

$C_{S}=\{a\in G\mid as=sa\ \ {\mbox{para todo}}\ \ s\in S\}.$

Notar que

1. $C_{H}\subseteq N_{H}$;
2. $C_{G}=G\,\!$ equivale a decir que $G$ es abeliano.

Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.

Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos y $N$ un subgrupo normal de $G$ tal que $N\subseteq \ker f$. Entonces existe un único homomorfismo ${\bar {f}}:(G/N)\longrightarrow H$ tal que ${\bar {f}}\circ \varphi =f$, donde $\varphi :G\longrightarrow (G/N)$ es la proyección canónica. Además:

(1) ${\bar {f}}$ es un epimorfismo si y sólo si $f\,\!$ lo es;

(2) $\ker {\bar {f}}=(\ker f)/N$

(3) ${\bar {f}}$ es un monomorfismo si y sólo si $\ker f=N\,\!$

Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo ${\bar {f}}:(G/N)\longrightarrow H$ es la aplicación dada por

${\bar {f}}(aN)=f(a).$

Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si $bN=aN\,\!$, entonces $a^{-1}b\in N$, y como $N\subseteq \ker f$, también $a^{-1}b\in \ker f$, luego $f(a)=f(b)$. Es fácil ver que ${\bar {f}}$ es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por $f$, es el único homomorfismo que cumple ${\bar {f}}\circ \varphi =f$. (1) es evidente. (2) $\ker {\bar {f}}=\{aN\mid f(a)=1_{H}\}=\{aN\mid a\in \ker f\}=(\ker f)/N$. ${\bar {f}}$ es un monomorfismo si y sólo si $\ker {\bar {f}}=(\ker f)/N$ es el subgrupo trivial de $(G/N)$, es decir, si y sólo si $\ker f=N$.

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El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos y $N$ un subgrupo normal de $G$ tal que $N\in \ker f$, entonces existe un único homomorfismo ${\bar {f}}:(G/N)\longrightarrow H$ que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos, entonces $(G/\ker f)\cong {\mbox{Im}}\ f$.

Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo ${\bar {f}}$ entre $(G/\ker f)$ y $H$, que se convierte en epimorfismo si en lugar de $H$ tomamos simplemente ${\mbox{Im}}f\subseteq H$, pero por (3) del teorema anterior ${\bar {f}}$ es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.

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Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ y $H$ es un subgrupo cualquiera de $G$, entonces $H\cap N$ es normal en $H$ y $H/H\cap N\cong (NH/N)$.

Demostración: La aplicación

${\begin{array}{rcl}f:H&\longrightarrow &(NH/N)\\h&\mapsto &Nh\end{array}}$

es un epimorfismo, y como $\ker f=\{h\in H\mid Nh=N\}=\{h\in H\mid h\in N\}=H\cap N$, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo ${\bar {f}}:H/H\cap N\longrightarrow (NH/N)$.

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Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si $N$ y $H$ son dos subgrupos normales en un grupo $G$, con $N\leq H$, entonces $(G/H)\cong (G/N)/(H/N)$.

Demostración: Sea $\varphi :G\longrightarrow (G/H)$ la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, $\ker \varphi =H$, luego $N\leq \ker \varphi$, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo ${\bar {\varphi }}:(G/N)\longrightarrow (G/H)$, pero $aN\in \ker {\bar {\varphi }}$ si y sólo si $aN=H\,\!$, lo cual sucede si y sólo si $a\in H$, luego $\ker {\bar {\varphi }}=(H/N)$, así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre $(G/N)/(H/N)$ y $(G/H)$.

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