Matemáticas/Teoría de anillos/Extensiones de Cuerpos

Definición. editar

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo editar

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo,   es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares   como una restricción a   del producto en  . De esta forma es inmediato que se cumple que:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,

cualesquiera que sean   y  . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en   y a que  , la tercera se debe a que el producto es asociativo en  , y la cuarta se debe a que   es subcuerpo de  , por lo que el elemento unidad de   es el elemento unidad de  .

Extensión simple editar

El artículo principal de esta categoría es Extensión simple.

El conjunto  . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de  , es subcuerpo de  , y de hecho es la menor extensión de   que contiene a  . Se le denomina extensión generada por α sobre  .

Extensiones algebraicas y trascendentes editar

Teorema de Kronecker. editar

Sea   un cuerpo y   un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión   de manera que   tiene alguna raíz en  .

Homomorfismo evaluación editar

La función   que a cada polinomio   le hace corresponder su evaluación en  , i.e.,  . Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica editar

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Una extensión   se dice que es algebraica si todo elemento   es algebraico sobre  .

Elementos algebraicos editar

El artículo principal de esta categoría es Elemento algebraico.

Supongamos que existe algún polinomio   que tiene a   por raíz.

En esta situación ( , o equivalentemente, existe algún   irreducible con  ) se dice que   es algebraico sobre  .

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible editar

Si   es un elemento algebraico sobre el cuerpo   de manera que  , el polinomio   que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e.,  ) es irreducible. Dividiendo   por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable  ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por   y se denomina polinomio mónico irreducible de   respecto de  .

Claramente,  .

Extensión trascendente editar

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Una extensión   se dice que es trascendente si existe algún elemento   que sea trascendente sobre  .

Elementos trascendentes editar

El artículo principal de esta categoría es Elemento trascendente.

Si el ker , será   un monomorfismo. En ese caso,   es isomorfo a  .


Se dirá que el elemento   es trascendente sobre   y que   es una extensión trascendente sobre  . Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en   que tenga por raíz a   (es decir, si  , entonces  ).

Grado de una extensión editar

El artículo principal de esta categoría es Grado de una extensión.

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de   como espacio vectorial sobre  , denotado por  . Se denomina grado de la extensión   a la dimensión de   como  -espacio vectorial:  .

Tomemos varios ejemplos:

K =   el cuerpo de los racionales y L =   el cuerpo de los reales;   visto como espacio vectorial sobre  , es de dimensión infinita, es decir,  .

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de   sobre   fuese finita,   sería isomorfo a  , lo que no es posible porque  .

Si K =  , el cuerpo de los racionales y L =  , el menor cuerpo que contiene a la vez   y √2, claramente   es una extensión algebraica de  , ya que   es raíz del polinomio  .

Al mismo tiempo:

 

ya que el ideal   es el núcleo del morfismo  , claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además  , es decir, la dimensión de   como espacio vectorial sobre   es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz:  .

En general:

  si   es el grado del polinomio mónico e irreducible en   que tiene a   como raíz, donde   es un cuerpo y   son los polinomios con coeficientes en  .