Álgebra/Teoría algebraica de números/El teorema de Dirichlet

El Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas es un resultado de la teoría analítica de números demostrado por el matemático Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. El teorema asegura que en dicha progresión aritmética hay una cantidad infinita de números primos.

Enunciado

Sea $a,\,q\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mcd} (a,q)=1$ entonces la progresión aritmética $a_{n}=a+n\cdot q$ contiene infinitos números primos.

Demostración

La demostración del teorema utiliza las propiedades de ciertas funciones multiplicativas (conocidas como funciones-L de Dirichlet) y varios resultados sobre aritmética de números complejos. Para evitar hacer la lectura demasiado densa, se han excluido de la demostración algunos corolarios intermedios que aparecen marcados como [AD]. La demostración completa, junto con los corolarios excluidos aquí, se puede encontrar en el artículo de González de la Hoz.

Definición. Definición: Sea $G$ un grupo conmutativo finito de orden $h$ y elemento unitario $e$.
Un carácter sobre $G$ es una función $\chi \in \mathbb {C} \;/\;\chi \neq 0,\;\chi (u\cdot v)=\chi (u)\cdot \chi (v)\;\forall u,v\in G$

Un carácter sobre $G$ tiene una serie de propiedades importantes para nuestra demostración:

1. Puesto que tanto la inversa de un carácter sobre $G$ como el producto de dos caracteres sobre $G$ es también un carácter sobre $G$, el conjunto de caracteres sobre $G$ forma un grupo conmutativo con la multiplicación.

   Esto permite definir el carácter principal del grupo $G$ que se define como la función $\chi _{0}\;/\;\chi _{0}(u)=1\;\forall u\in G$. El carácter principal es por tanto el elemento unidad del grupo definido por el conjunto de caracteres sobre $G$.

2. Como $\chi (e)=1$ y dado que el orden de un elemento divide al orden del grupo, entonces $\forall u\in G\;(\chi (u))^{h}=\chi (u^{h})=\chi (e)=1$, lo que implica que $\vert \chi (u)\vert =1$.

   Puesto que el número de raíces del elemento unitario de orden $h$ es como máximo $h$, el número de caracteres $c$ es finito, siendo el valor $h^{h}$ una cota superior de $c$.

   Por otra parte $\forall u\in G,\;u\neq e$ existe un carácter $\chi \;/\;\chi (u)\neq 1$ ([AD]). Por ello, y si se representa mediante $\sum _{G}a_{\chi }\,$ la suma del valor $a_{\chi }$ asociado a cada uno de los los diferentes caracteres del grupo $G$, se tienen estas propiedades adicionales ([AD]):

3. $\forall u\in G{\mbox{ se tiene que: }}$ $\sum _{G}\chi (u)={\begin{cases}c&{\mbox{si }}u=e\\0&{\mbox{si }}u\neq e\end{cases}}$$\quad {\mbox{ donde }}c=\sum _{G}1$
4. $\forall u\in G{\mbox{ se tiene que: }}$ $\sum _{u\in G}\chi (u)={\begin{cases}h&{\mbox{si }}\chi =\chi _{0}\\0&{\mbox{si }}\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$$\quad {\mbox{ donde }}h{\mbox{ es el orden de }}G{\mbox{ siendo }}c=h$
5. $\forall u,v\in G{\mbox{ se cumple que: }}$ ${\frac {1}{h}}\sum _{\chi }{\frac {\chi (u)}{\chi (v)}}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}u=v\\0&{\mbox{si }}u\neq v\end{cases}}$
6. $\forall \chi _{1},\chi _{2}\in G{\mbox{ se cumple que: }}$ ${\frac {1}{h}}\sum _{u\in G}{\frac {\chi _{1}(u)}{\chi _{2}(u)}}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}\chi _{1}=\chi _{2}\\0&{\mbox{si }}\chi _{1}\neq \chi _{2}\end{cases}}$

   Dado un $q\in \mathbb {N}$, se definen los caracteres $\chi$ del grupo $G=\mathbb {Z} _{q}^{*}$ definido como las clases de congruencia módulo $q$ de números coprimos con $q$.

   El grupo $G$ tiene $\varphi (q)$ elementos, y lo podemos representar por $G=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{\varphi (q)}\rbrace$ donde los diferentes $a_{i}$ son los representantes de la clase de congruencia que cumplen la condición $0<a_{j}<q$, y en este contexto se definen las funciones extendidas de los caracteres $\chi$ de $G$ de la siguiente manera:

   $\chi (n)={\begin{cases}\chi (a_{i})&\mathrm {si} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}$

   Estas funciones se denominan caracteres de Dirichlet módulo q y son completamente multiplicativas. Existen $\varphi (q)$ funciones de este tipo y la más básica de ellas se denomina carácter principal de Dirichlet:

   $\chi _{0}(n)={\begin{cases}1&\mathrm {si} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}$

   Estos caracteres tienen algunas propiedades significativas (derivadas de las propiedades de los caracteres de un grupo que vimos antes):

7. $\sum _{n\;(\mathrm {mod\;} q)}\chi (n)={\begin{cases}\varphi (q)&\mathrm {si} \;\chi =\chi _{0}\\0&\mathrm {si} \;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$
8. $\sum _{n\;(\mathrm {mod\;} q)}\chi (u)={\begin{cases}\varphi (q)&\mathrm {si} \;u\equiv 1{\pmod {q}}\\0&\mathrm {si} \;u\not \equiv 1{\pmod {q}}\end{cases}}$
9. $\forall a\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mcd} (a,\;q)=1{\mbox{ se tiene que: }}$ $\sum _{n\;(\mathrm {mod\;} q)}{\frac {\chi (u)}{\chi (a)}}={\begin{cases}\varphi (q)&\mathrm {si} \;u=a\\0&\mathrm {si} \;u\neq a\end{cases}}$

En este punto se debe introducir la siguiente

Definición. Definición: Una función-L de Dirichlet es una función de la forma
$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$ donde $s\in \mathbb {C}$ y $\chi$ es un carácter de Dirichlet.

Los valores de $\chi$ son periódicos, lo que implica que la serie $L(s,\,\chi )$ converge absolutamente para $\Re (s)>1$ y uniformemente para $\Re (s)>1+\varepsilon ,\quad \forall \varepsilon >0.$ Además, como los coeficientes son completamente multiplicativos, la serie admite la siguiente expresión:

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}$

Cuando $\Re (s)>1$ La función-L de Dirichlet tiene las siguientes propiedades ([AD]):

1. $L(s,\chi )\neq 0$
2. $L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$
3. ${\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}}$
4. $\ln(L(s,\chi ))=\sum _{p}{\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}{\frac {(\chi (p))^{m}}{p^{m\cdot s}}}}$

De la igualdad

$L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$

y las propiedades de la función $\zeta$ se deduce que la función $L(s,\chi _{0})$ es analítica en el semiplano complejo $\Re (s)>0$ a excepción de un polo en $s=1$, cuyo residuo es:

$\operatorname {Res} (L(s,\chi _{0}),1)=\prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {\varphi (q)}{q}}$.

Como consecuencia de esto, podemos afirmar que $\textstyle L(s,\chi _{0})=f(s)+{\frac {\varphi (q)/q}{s-1}}$, donde $f$ es analítica y no tiene singularidades en $\Re (s)>0$, de modo que la función expresada por

${\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}={\frac {f^{\prime }(s)-{\frac {\varphi (q)/q}{(s-1)^{2}}}}{f(s)+{\frac {\varphi (q)/q}{s-1}}}}={\frac {(s-1)^{2}f^{\prime }(s)-\varphi (q)/q}{(s-1)f(s)-\varphi (q)/q}}{\frac {1}{s-1}}$

que tiene también un polo en $s=1$ con residuo $-1$. Por otra parte, toda función-L de Dirichlet $L(s,\chi )$ con $\chi \neq \chi _{0}$ es analítica y no presenta singularidades en la zona $\Re (s)>0$ ([AD]). Y para $k>0$ se tiene ([AD]) que:

$\sum _{p\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=\sum _{n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {\Lambda (n)}{n^{k}}}-O(1)$,

lo cual también se puede expresar como

$\sum _{p\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=$${\frac {-1}{\varphi (q)}}\cdot {\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}-{\frac {1}{\varphi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}-O(1)$.

Esta expresión es clave para la demostración del teorema de Dirichlet, pues podemos concluir que el teorema es cierto si el primer término del segundo miembro diverge cuando los restantes términos permanecen dentro de unos límites.

Como se cumple que $L(1,\chi )\neq 0$ cuando $\chi \neq \chi _{0}$ la siguiente expresión:

$\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {1}{\varphi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}={\frac {1}{\varphi (q)\chi (1)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(1,\chi )}{L(1,\chi )}}=O(2)$

obtiene un valor finito y, como vimos, dado que $\textstyle {\frac {1}{\chi _{0}(a)}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}={\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}$ tiene un polo en $s=1$ con residuo $-1$ se cumple que $\textstyle \lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}=-\infty$ lo que implica que:

$\sum _{p\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p}}=$$\lim _{k\rightarrow 1^{+}}\sum _{p\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=$${\frac {-1}{\varphi (q)}}\left(\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}+O(2)\right)+O(1)=$$\infty$

lo que demuestra el teorema.