Álgebra/Teoría algebraica de números/El teorema de Dirichlet

El Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas es un resultado de la teoría analítica de números demostrado por el matemático Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. El teorema asegura que en dicha progresión aritmética hay una cantidad infinita de números primos.

Enunciado

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Sea   entonces la progresión aritmética   contiene infinitos números primos.

Demostración

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La demostración del teorema utiliza las propiedades de ciertas funciones multiplicativas (conocidas como funciones-L de Dirichlet) y varios resultados sobre aritmética de números complejos. Para evitar hacer la lectura demasiado densa, se han excluido de la demostración algunos corolarios intermedios que aparecen marcados como [AD]. La demostración completa, junto con los corolarios excluidos aquí, se puede encontrar en el artículo de González de la Hoz.[1]

Definición. Definición: Sea   un grupo conmutativo finito de orden   y elemento unitario  .
Un carácter sobre   es una función  

Un carácter sobre   tiene una serie de propiedades importantes para nuestra demostración:

  1. Puesto que tanto la inversa de un carácter sobre   como el producto de dos caracteres sobre   es también un carácter sobre  , el conjunto de caracteres sobre   forma un grupo conmutativo con la multiplicación.
    Esto permite definir el carácter principal del grupo   que se define como la función  . El carácter principal es por tanto el elemento unidad del grupo definido por el conjunto de caracteres sobre  .
  2. Como   y dado que el orden de un elemento divide al orden del grupo, entonces  , lo que implica que  .
    Puesto que el número de raíces del elemento unitario de orden   es como máximo  , el número de caracteres   es finito, siendo el valor   una cota superior de  .
    Por otra parte   existe un carácter   ([AD]). Por ello, y si se representa mediante   la suma del valor   asociado a cada uno de los los diferentes caracteres del grupo  , se tienen estas propiedades adicionales ([AD]):
  3.     
  4.     
  5.    
  6.    
    Dado un  , se definen los caracteres   del grupo   definido como las clases de congruencia módulo   de números coprimos con  .
    El grupo   tiene   elementos, y lo podemos representar por   donde los diferentes   son los representantes de la clase de congruencia que cumplen la condición  , y en este contexto se definen las funciones extendidas de los caracteres   de   de la siguiente manera:
     
    Estas funciones se denominan caracteres de Dirichlet módulo q y son completamente multiplicativas. Existen   funciones de este tipo y la más básica de ellas se denomina carácter principal de Dirichlet:
     
    Estos caracteres tienen algunas propiedades significativas (derivadas de las propiedades de los caracteres de un grupo que vimos antes):
  7.  
  8.  
  9.    

En este punto se debe introducir la siguiente

Definición. Definición: Una función-L de Dirichlet es una función de la forma
  donde   y   es un carácter de Dirichlet.

Los valores de   son periódicos, lo que implica que la serie   converge absolutamente para   y uniformemente para   Además, como los coeficientes son completamente multiplicativos, la serie admite la siguiente expresión:

 

Cuando   La función-L de Dirichlet tiene las siguientes propiedades ([AD]):

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

De la igualdad

 

y las propiedades de la función   se deduce que la función   es analítica en el semiplano complejo   a excepción de un polo en  , cuyo residuo es:

 .

Como consecuencia de esto, podemos afirmar que  , donde   es analítica y no tiene singularidades en  , de modo que la función expresada por

 

que tiene también un polo en   con residuo  . Por otra parte, toda función-L de Dirichlet   con   es analítica y no presenta singularidades en la zona   ([AD]). Y para   se tiene ([AD]) que:

 ,

lo cual también se puede expresar como

  .

Esta expresión es clave para la demostración del teorema de Dirichlet, pues podemos concluir que el teorema es cierto si el primer término del segundo miembro diverge cuando los restantes términos permanecen dentro de unos límites.

Como se cumple que   cuando   la siguiente expresión:

 

obtiene un valor finito y, como vimos, dado que   tiene un polo en   con residuo   se cumple que   lo que implica que:

    

lo que demuestra el teorema.

  1. González de la Hoz, F. A., Demostración del teorema de Dirichlet, web de la UNED.