Álgebra/Temas de repaso/Expresiones algebraicas

Constantes y variables

Uno de las cosas que dan al álgebra su carácter general, es el uso de las variables. Una variable puede representar cualquier número dentro de un dominio. Para nosotros, las variables podrán representar cualquier número real. Las variables serán expresiones literales, como $x$, $y$, $s$, $t$, etc.

Por otra parte, las constantes representan un único número dentro de un dominio. Ejemplos de constantes son

$5,\qquad {\frac {1}{3}},\qquad {\sqrt {2}},\qquad \pi$

Expresiones algebraicas

El resultado de aplicar una o más veces cualquier operación algebraica a dos o más números es una expresión algebraica. Por ejemplo, las siguientes son expresiones algebraicas

$4x^{2}y,\quad {\frac {3ts^{2}+1}{ts}},\quad {\frac {\sqrt {2x-1}}{3y^{1/2}}}$.

Una expresión algebraica se dice un término algebraico si sus constantes o variables están combinadas mediante cualquier operación algebraica excepto la adición y la sustracción. Las siguientes expresiones son términos algebraicos

$3x^{2},\qquad {\sqrt {\frac {2x}{y^{3}}}},\qquad {\frac {t^{1/2}}{2s{\sqrt {r}}}}$.

En un término, se dice que cualquier factor es coeficiente de los factores restantes. Por ejemplo, en el término $3x^{3}y^{2}$, el $3$ es coeficiente de $x^{3}y^{2}$, $x^{3}$ es coeficiente de $3y^{2}$ y $y^{2}$ es coeficiente de $3x^{3}$. Los coeficientes que sean números (como el tres del ejemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales. Si dos términos se ditinguen tan solo por su coeficiente numérico, entonces estos se dice que son términos semejantes. Por ejemplo,

$~5x^{2}yz^{4}$

y

${\frac {3}{4}}x^{2}yz^{4}$

son términos semejantes.

Un término se dice racional entero si sus literales están combinadas solamente por la operación de multiplicación. Por lo tanto, todas las expresiones siguientes son términos racionales enteros:

$3x^{3}y^{2},\qquad -{\frac {1}{2}}ab,\qquad {\sqrt {21}}\,nmp^{2}$.

El grado de un término racional entero es la suma de los exponentes de sus literales. Por ejemplo, $x^{6}$, $5^{100}a^{2}b$ y $s^{3}t^{4}p^{5}$ son términos de grados $6$, $3$ y $12$ respectivamente.

Una expresión que es tan solo un término se llama monomio. Dos términos combinados por adición o sustracción forman un binomio. Ejemplos de binomios son

$2+xy,\qquad a{\sqrt {n}}-bm^{2},\qquad -1+{\sqrt {2}}$.

Tres términos combinados por adición o sustracción forman un trinomio. Una combinación de cualquier número de términos forma lo que se conoce con el nombre general de multinomio. Cuando todos los términos de un multinomio son racionales enteros, entonces el multinomio puede llamarse también polinomio. Un ejemplo de polinomio es la expresión siguiente:

$~x^{4}-3x^{3}y+y^{2}+z-z^{6}$.

El grado de un polinomio será el grado de su término de mayor grado. Así, el grado del polinomio del ejemplo anterior es $6$.