Álgebra/Series y sucesiones

Definición

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+\dots$

lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

$S=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un asaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos;

$S=\sum _{i=1}^{10}i=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$

En cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo.

$S=\sum _{i=1}^{\infty }i=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...$

Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Ejemplos

Series Infinitas

$S=\sum _{n=1}^{\infty }n=1+2+3+4+5+6+...$

$S=\sum _{n=1}^{\infty }2n=2+4+6+8+10+12+...$

$S=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}=1+4+9+16+25+36+...$

Series Finitas

$S=\sum _{n=1}^{10}a_{n}=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$

Serie Armónica

Es toda serie finita o infinita donde

$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...$

Sucesiones

Definición

Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ₊∪{0} y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

Definición formal

Una sucesión finita $(a_{k})$ (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\{1,2,\ldots ,r\}\to S$.

y en este caso el elemento $a_{k}$ corresponde a $f(k)$.

Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:

$2,3,5,7$

corresponde a la función $f:\{1,2,3,4\}\to \mathbb {P}$ (donde $\mathbb {P}$ es el conjunto de números primos) definida por:

$f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=7$.

Una sucesión infinita $(a_{k})$ con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\mathbb {N} \to S$.

en donde, de forma análoga, $a_{k}$ corresponde a $f(k)$.

Progresión Aritmética

En Matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión matemática de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada «diferencia de la progresión», «diferencia» o incluso «distancia».

Por ejemplo, la sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de cuadro constante 2, así como 5, 2, −1, −4 es una progresión aritmética de constante «−3».

En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos cualesquiera de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia. Esto se puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera:

$a_{n+1}-a_{n}=d$.

Conociendo el primer término a₁ y la diferencia d, se puede calcular el enésimo término de la progresión mediante sustitución sucesiva en la relación de recurrencia

$a_{1},\,\underbrace {(a_{1}+d)} _{a_{2}},\,(\underbrace {\underbrace {a_{1}+d} _{a_{2}}+d} _{a_{3}}),\,\cdots \,,\,(\underbrace {\underbrace {a_{1}+(n-2)d} _{a_{n-1}}+d} _{a_{n}})$

con lo que se obtiene una fórmula para el término general de una progresión aritmética, escrita de manera compacta como:

(I) $a_{n}=a_{1}+{(n-1)}{d}\,$

donde d pertenece a los números reales.

También se puede escribir el término general de otra forma. Para ello se consideran los términos a_m y a_n (m<n) de la progresión anterior y se ponen en función de a₁:

${\begin{matrix}a_{m}=&a_{1}+(m-1)d\\a_{n}=&a_{1}+(n-1)d\end{matrix}}$

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, se obtiene:

(II) $a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,$

expresión más general que (I)

, pues da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de si la diferencia d en una progresión aritmética es positiva, nula o negativa, se tiene que:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

• Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)

d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.

• Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)

d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.

• Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... (d=-2)

Suma

La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}={n(a_{1}+a_{n}) \over 2}\,$

donde $a_{1}$ es el primer término, $a_{n}$ es el último y $\Sigma$ es la notación de sumatorio.

Por ejemplo, considérese la suma:

$2+5+8+11+14$

La suma puede calcularse rápidamente tomando el número de términos n de la progresión (en este caso 5), multiplicando por el primer y último término de la progresión (aquí 2 + 14 = 16), y dividiendo entre 2. Tomando la fórmula, sería:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

Esta fórmula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales conociendo $a_{1}$ y $a_{n}$. Por ejemplo:

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

Obtención de la fórmula

Sea una progresión aritmética de término general $a_{n}\,$ y de diferencia d, la suma de los n términos es:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)\,$

aplicando la fórmula (II)

, cada término a₁, a₂, a₃, ..., a_m de la progresión se puede expresar en términos del enésimo como $\textstyle a_{m}=a_{n}-(n-m)d\,$. Así :

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}\,$

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, se anulan todos los términos que están multiplicados por d:

$2\sum _{i=1}^{n}a_{i}=n(a_{1}+a_{n})\,$

de lo que se obtiene que

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=n{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\,$.

Ejemplos de Progresión Aritméticas

$n=1,2,3,4,5,6...$

$2n=2,4,6,8,10,12...$

$3n+1=4,7,10,13,16,19...$

$4n-1=3,7,11,15,19,23...$

Progresión Geométrica

Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos

Así, $5,15,45,135,405,...\,$ es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo $a_{n}\,$ el término en cuestión, $a_{1}\,$ el primer término y $r$, la razón:

$a_{n}=a_{1}\cdot r^{(n-1)}\,$

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es:

$a_{4}=5\cdot 3^{4-1}=5\cdot 3^{3}=135$

Para obtener la razón en una progresión geométrica lo más sencillo es dividir un término cualquiera entre el término anterior, sin embargo existen ocasiones donde no tenemos términos consecutivos, en ese caso utilizamos la siguiente fórmula:

$r={\sqrt[{n-m}]{\frac {a_{n}}{a_{m}}}}$

Se denomina como S_n a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

$r\cdot S_{n}=r\cdot (a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})$

$r\cdot S_{n}=r\cdot a_{1}+r\cdot a_{2}+...+r\cdot a_{n-1}+r\cdot a_{n}$

puesto que $r\cdot a_{i}=a_{i+1}$

$r\cdot S_{n}=a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+a_{n+1}$

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

$r\cdot S_{n}-S_{n}=a_{n+1}-a_{1}$

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando $S_{n}$

$S_{n}={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{r-1}}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como

$S_{n}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios $a_{m}\ y\ a_{n}$ (ambos inclusive):

$\sum _{k=m}^{n}a_{k}={\frac {r\cdot a_{n}-a_{m}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}=a_{m}\cdot {\frac {(r^{n-m+1}-1)}{r-1}}$

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Se denomina como S_n a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

$r\cdot S_{n}=r\cdot (a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})$

$r\cdot S_{n}=r\cdot a_{1}+r\cdot a_{2}+...+r\cdot a_{n-1}+r\cdot a_{n}$

puesto que $r\cdot a_{i}=a_{i+1}$

$r\cdot S_{n}=a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+a_{n+1}$

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

$r\cdot S_{n}-S_{n}=a_{n+1}-a_{1}$

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando $S_{n}$

$S_{n}={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{r-1}}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como

$S_{n}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios $a_{m}\ y\ a_{n}$ (ambos inclusive):

$\sum _{k=m}^{n}a_{k}={\frac {r\cdot a_{n}-a_{m}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}=a_{m}\cdot {\frac {(r^{n-m+1}-1)}{r-1}}$

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad $|r|<1$, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si $|r|<1$, $r^{\infty }$ tiende hacia 0, de modo que:

$S_{\infty }=a_{1}{\cfrac {r^{\infty }-1}{r-1}}=a_{1}\cdot {\cfrac {0-1}{r-1}}$

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

$S_{\infty }={\cfrac {a_{1}}{1-r}}$

Ejemplos de progresiones geométricas

• La progresión 1, 2, 4, 8, 16, ... es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40, ...
• La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875, ... es una progresión geométrica con razón 1/4.
• La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24, ... tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7, ...
• Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0, ... Existen ciertos autores que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que $r\neq 0$ en la definición.

Fuentes

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

http://matematica.50webs.com/sucesiones.html

http://www.calculointegrales.com/p/series-y-sucesiones.html