Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Diofántica

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.

Ejemplo

Un ejemplo de ecuación diofántica es: $x+y=5\,$

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números enteros. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de $x$ e $y$ a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para $(x,y)$:

(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica $Ax+By=C\,$ o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(A, B) (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=C\,$ tiene solución si y solo si d = mcd(a₁, a₂,...,a_n) es un divisor de C.

Solución general

Supongamos la ecuación diofántica $\scriptstyle Ax+By=C\,$. Solo tiene solución si $\scriptstyle \mathrm {mcd} (A,B)=d|C\,$. Para buscar el $\scriptstyle \mathrm {mcd} (A,B)$ empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:

${\begin{cases}x=x_{1}+\lambda {\cfrac {B}{d}}\\y=y_{1}-\lambda {\cfrac {A}{d}}\end{cases}}$

Donde $\scriptstyle d=\mathrm {mcd} (A,B)$ y $\scriptstyle x_{1}$ e $\scriptstyle y_{1}$ son una solución particular de la ecuación.

Esta solución para números enteros contrasta con la solución de la misma ecuación cuando se considera que A, B, C, x e y son números reales, que está formada por infinitas soluciones de la forma: y = (C - x*A)/B (suponiendo B diferente de cero).

Solución particular

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da $x_{1}\,$ e $y_{1}\,$. Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

1. Buscamos el d = mcd(6, 10). A través del algoritmo de Euclides encontramos que d  = 2.
2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x₁ = 2 e y₁ = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.
3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x₁ = 2 e y₁ = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104
4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

$\left\{{\begin{array}{rccl}x&=&(2\cdot 52)&+\lambda \cdot {\frac {10}{2}}\\y&=&(-1\cdot 52)&-\lambda \cdot {\frac {6}{2}}\end{array}}\right.\forall \lambda \in \mathbb {Z}$

Notas y referencias

Bibliografía

• Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics. 30. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8. 
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics. 1467. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. 
• Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. 87. Cambridge University Press. 1986. ISBN 0-521-26826-5. 
• Smart, Nigel P. (1998). The algorithmic resolution of Diophantine equations. London Mathematical Society Student Texts. 41. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X. 
• Stillwell, John (2004). Mathematics and its History (Second Edition edición). Springer Science + Business Media Inc.. ISBN 0-387-95336-1. 

Enlaces externos

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