Álgebra/Capítulos a reubicar/Proporciones Directas e Inversa

Serie de Razones

Una serie de razones es una igualdad entre tres o más razones que tienen el mismo valor.

$\mathrm {Si} \ {\frac {a}{b}}=k\ \mathrm {y} \ {\frac {c}{d}}=k\ \mathrm {y} \ {\frac {e}{f}}=k\ \rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}={\frac {e}{f}}$

También podemos escribir esta serie de razones como

$a:c:e=b:d:f$

donde $a,c,e$ son los antecedentes y $b,d,f$ los consecuentes.

Ejemplo

Se tienen tres números $x,y,z$ en la razón $3:5:7$. Además, se sabe que $x+y+z=75$. Queremos determinar los números.

Sol: Tenemos que

${\frac {x}{3}}={\frac {y}{5}}={\frac {z}{7}}=k$

De esa serie de razones, tenemos que $x=3k,y=5k,z=7k$.

Reemplazando en la ecuación $x+y+z=75$ se tiene que $k=5$.

Luego, los números buscados son $x=15,y=25,z=35$.

Proporción Directa

Dos o más cantidades son directamente proporcionales cuando varían de igual manera.

Es decir, cuando haciéndose mayor o menor una de ellas, la otra también se hace mayor o menor en la misma medida.

Cantidades directamente proporcionales son, por ejemplo:

• El número de horas que está prendida una ampolleta y su consumo, pues a mayor número de horas prendidas, mayor es el consumo de ésta.
• Comisión y venta de un producto, pues a más productos vendidos, mayor es la comisión obtenida.

Formalmente, las cantidades $x$ e $y$ están en proporción directa cuando el cociente entre ellas es constante.

Es decir, si ${\frac {x}{y}}=k$

Si tenemos tres cantidades $x,y,z$ en proporción directa con $a,b,c$, entonces se tiene que

${\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}={\frac {z}{c}}=k$

Ejemplo

Se quiere repartir $\$90.000$ en forma directamente proporcional a personas cuyas edades son 10, 15 y 20 años.

Sol: Sean $x,y,z$ las cantidades repartidas.

Tenemos que

${\frac {x}{10}}={\frac {y}{15}}={\frac {z}{20}}=k\ \mathrm {y} \ x+y+z=90.000$

De la cadena de razones, tenemos que $x=10k,y=15k,z=20k$. Reemplazando en la ecuación, y despejando, se tiene que $k=2.000$.

Luego, las cantidades repartidas son $x=\$20.000,y=\$30.000,z=\$40.000$.

Proporción Inversa

Dos o más cantidades son inversamente proporcionales cuando varían en forma contrario.

Es decir, cuando haciéndose mayor o menor una de ellas, la otra se hace menor o mayor en la misma medida.

Cantidades inversamente proporcionales son, por ejemplo:

• La velocidad con que se recorre una distancia y el tiempo, pues a mayor velocidad menor es el tiempo empleado.
• El número de personas y el tiempo en terminar un trabajo, pues a mayor número de personas es mejor el tiempo empleado para terminar el trabajo.

Formalmente, las cantidades $x$ e $y$ están en proporción inversa cuando el producto entre ellas es constante.

Es decir, si $xy=k$.

Si tenemos tres cantidades $x,y,z$ en proporción inversa con $a,b,c$, entonces se tiene que

$xa=yb=zc=k$

Ejemplo

Se quiere repartir $\$6.150$ en forma inversamente proporcional a personas cuyas edades son 3, 8 y 9 años.

Sol: Sean $x,y,z$ las cantidades repartidas.

Tenemos que

$3x=8y=9z=k\ \mathrm {y} \ x+y+z=6.150$

De la cadena de razones, tenemos que $x={\frac {k}{3}},y={\frac {k}{8}},z={\frac {k}{9}}$. Reemplazando en la ecuación, y despejando, tenemos que $k=10.800$.

Luego, las cantidades repartidas son $x=\$3.600,y=\$1.350,z=\$1.200$.

Proporción Compuesta

Diremos que una proporción es compuesta siempre que en ella intervengan más de dos variables.

En una proporción compuesta las variables se pueden relacionar de distintas formas. Tomadas de a dos, pueden ser: proporciones directas entre sí, proporciones inversas entre sí, etc.

Para resolver una proporción compuesta, un método práctico es el siguiente:

1. Colocar siempre un signo $+$ sobre la razón con la incógnita.

2. Para las razones con que se compara la razón de la incógnita, si estas son

• directamente proporcionales, colocar un signo $-$ sobre la razón, y un signo $+$ bajo la razón
• inversamente proporcionales, colocar un signo $+$ sobre la razón, y un signo $-$ bajo la razón

3. El valor de la incógnita queda determinado por el producto de los $+$ dividido por el producto de los $-$.

Ejemplo

Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitan 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

Sol: Hacemos una tabla con los datos del enunciado, de la forma siguiente:

Hombres	Horas	Metros	Días
$3$	$8$	$80$	$10$
$5$	$6$	$60$	$x$

Comparamos las razones con la razón incógnita y tenemos que

• Las razones días y metros son directamente proporcionales, pues a mayor número de metros por hacer, mayor es la cantidad de días necesaria.
• Las razones días y horas son inversamente proporcionales, pues a mayor número de horas trabajadas por días, menor es el número de días necesarios.
• Las razones días y hombres son inversamente proporcionales, pues a mayor número de hombres trabajando, menor es el número de días necesarios.

Así, siguiendo la regla de los signos descritas, considerando que siempre en la razón de la incógnita el signo $x$ va arriba, tenemos lo siguiente:

Hombres	Horas	Metros	Días
$+$	$+$	$-$	$+$
$3$	$8$	$80$	$10$
$5$	$6$	$60$	$x$
$-$	$-$	$+$	$-$

Luego, el número de días buscado es

$x={\frac {3\cdot 8\cdot 60\cdot 10}{5\cdot 6\cdot 80}}=6$

Ejercicios Propuestos

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Álgebra/Capítulos a reubicar/Ejercicios Propuestos de Proporciones Directas e Inversas.