Álgebra/Análisis numérico/Solución de Ecuaciones no Lineales/Método de iteración de punto fijo

Definición editar

Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).

Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:

  Punto fijo

El comportamiento de los esquemas de punto fijo puede variar ampliamente desde la divergencia, lenta convergencia, a la rápida convergencia.

La vía más simple (aunque no más general) de caracterizar el comportamiento de la iteración de punto fijo es considerar la derivada de   en la solución  .

Si x* = g(x*) y |g’(x*)| < 1, entonces el esquema es localmente convergente. Es decir, existe un intervalo conteniendo   tal que el correspondiente esquema iterativo es convergente si comienza dentro del intervalo.

Ecuación editar

Ejemplo editar