Álgebra/Análisis numérico/Solución de Ecuaciones no Lineales/Método de bisección

Definición

Sea f una función continua en un intervalo [a, b], y f(a) x f(b) < 0. Por teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe al menos un α ε(a, b), tal que f(α) = 0.

Este método consiste en dividir sucesivamente el intervalo [a, b], por la mitad, hasta que la longitud del subintervalo que contiene a la raíz α sea menor que alguna tolerancia especificada ε.

 WHILE ((b - a) > tol) DO
    m = a + (b - a)/2
       IF sign(f(a)) * sign(f(b)) > 0 THEN
          a = m
       ELSE
          b = m
    END
 END

Método de bisección

Ventajas: – Siempre converge. – Útil como aproximación inicial de otros métodos.

Desventajas: – No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas xn, solo tiene en cuenta el signo de f(x), lo que hace que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida. – Convergencia lenta.

Método linealmente convergente, r = 1, C = 0.5.

Algoritmo

Para aplicar el método consideremos tres sucesiones $a_{n}\leq p_{n}\leq b_{n}\,$ definidas por las siguientes relaciones:

$p_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad a_{n+1}={\begin{cases}a_{n}&{\mbox{si }}f(a_{n})\cdot f(p_{n})<0\\p_{n}&{\mbox{si }}f(a_{n})\cdot f(p_{n})>0\end{cases}},\quad b_{n+1}={\begin{cases}b_{n}&{\mbox{si }}f(b_{n})\cdot f(p_{n})<0\\p_{n}&{\mbox{si }}f(b_{n})\cdot f(p_{n})>0\end{cases}}$

Donde los valores iniciales vienen dados por:

$a_{0}:=a,\quad b_{0}:=b$

Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única raíz del intervalo:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }p_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$