Álgebra/Análisis numérico/Solución de Ecuaciones no Lineales/Método de Newton-Raphson

Definición

De acuerdo con la serie truncada de Taylor:

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h$

Reemplazamos la función no-lineal f con esta función lineal, cuyo cero es fácilmente determinado, para hacer h = –f(x) / f’(x) , asumiendo que f’(x) ≠ 0 . Como lo de las dos funciones no se repite en general, entonces se vuelve a hacer el proceso. Esto motiva al siguiente esquema iterativo:

$x_{k+1}=x_{k}-{{f(x_{k})} \over {f'(x_{k})}}$

El método de Newton–Raphson puede interpretarse como la aproximación de la función cerca de xk por la recta tangente f(xk).

Desventajas del Método de Newton-Rhapson:

- Lenta convergencia debida a la naturaleza de una función en particular. - Cuando un punto de inflexión, f’’(x) = 0, ocurre en la vecindad de una raíz. - No existe un criterio general de convergencia. Tener un valor suficientemente cercano a la raíz. Apoyarse de herramientas gráficas. Conocimiento del problema físico. - Evaluación de la derivada.

Ejemplo

De la ecuaciòn

1.-Derivamos

2.-Construcciòn de la formula

3.-Tomamos un valor inicial 0 o 1

4.-Sustituciòn continua hasta que se aproxime al error