Álgebra/Análisis numérico/Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales/Método de Euler

Definición

La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi:

$\phi =f(x_{i},y_{i})=y'_{i}$

Donde $f(xi,yi)$ es la ecuación diferencial evaluada en $xi$ y $yi$. Esta estimación puede sustituirse en la ecuación anterior.

$y_{i+1}=y_{i}+f(x_{i},y_{i})h$

Conocida como método de Euler. Se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente, igual a la primera derivada en el valor original de x, que habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h.

Análisis de error para el método de Euler

La solución numérica de las EDO’s involucra dos tipos de errores

Truncamiento: Causado por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

Local: Aplicación del método en cuestión sobre un paso sencillo.

Propagado: Aproximaciones producidas durante los pasos previos. La suma de los dos es el error de truncamiento global.

Redondeo: Resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Se puede obtener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el método de Euler directamente de la expansión en series de Taylor.

$E_{a}={{f'(x_{i},y_{i})} \over {2!}}h^{2}$