Álgebra/Análisis numérico/Integración y Diferenciación Numérica/Regla del trapecio

Definición

Es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton–Cotes.

Corresponde al caso donde el polinomio en la ecuación de integración es de primer orden:

Geométricamente, es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conecta f(a) y f(b).

La integral se representa como:

I ≈ ancho x altura promedio

Ecuación

$I=\int _{a}^{b}{\left[{f(a)+{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}(x-a)}\right]}dx=(b-a){{f(a)+f(b)} \over 2}$

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho $\Delta x=(b-a)/n$.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]$

Donde $\textstyle h={\frac {b-a}{n}}$ y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right]$

El error en esta aproximación se corresponde con :

$-{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\,f^{(2)}(\xi )$

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

$\int _{1}^{2}3x\,dx$

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: $h={\frac {b-a}{n}}$ $={\frac {2-1}{6}}={\frac {1}{6}}$.

Y ahora se sustituye en la fórmula

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ = ${\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]$

y queda:

$\int _{1}^{2}3x\,dx$ = ${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}[3(1)+2[3(1+1\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+2\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+3\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+4\cdot {\frac {1}{6}})]+2[3(1+5\cdot {\frac {1}{6}})]+3(2)]=4.5$

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.