Matemáticas/Álgebra Lineal/Transformaciones lineales

Se denomina transformación lineal, aplicación lineal o función lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo $K$, y $T$ una función de $V$ en $W$. $T$ es una transformación lineal si para todo par de vectores $u$ y $v$ pertenecientes a $V$ y para todo escalar $k$ perteneciente a $K$, se satisface que:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)\,$
2. $T(ku)=kT(u)\,$ donde k es un escalar.

Ejemplos

Transformación lineal identidad

$T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x,$ $\forall x\in V$

Operador diferencial como transformación lineal

El operador diferencial puede ser tratado como una transformación lineal. En efecto, dado V = C[0,1] el espacio vectorial de todas las funciones con valor real continuas en el intervalo [0,1] y se supone que W es el subespacio de C[0,1] que involucra todas las funciones con primeras derivadas continuas sobre el intervalo cerrado [0,1].

Sea D: la transformación de V en W que aplica f hacia su derivada; esto es:

D(f)=f´

Al usar las propiedades de la derivación, resulta

D(f + g)=D(f) + D(g)

D(kf) = kD(f)

De tal modo D es una transformación lineal

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