Estructuras algebraicas que son álgebra de BooleEditar
Hay numerosos casos de distintos análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma. Vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a las operaciones o a las variables.
Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los ceros y los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida de esta álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto en este caso está formado por dos elementos {0,1}, o {F, V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin pérdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho:
Donde:
La operación unaria interna, que llamaremos negación:
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.
Para todo elemento a en {0.1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la negación de a. Como se ve en la tabla.
La operación binaria interna, que llamaremos suma:
Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.
la operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b. Como se puede ver en la tabla.
Partiendo de álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estas condiciones:
entonces a es menor o igual que b. Dados los valores binarios 0 y 1, podemos ver:
Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el cumplimiento de las otras, en este caso es sencillo comprobarlas todas. Luego podemos decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:
Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:
El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.
Para los conjuntos A y B que cumplen estas propiedades, podemos decir que A antecede a B, que en el caso de conjuntos se diría A es igual o un subconjunto de B y lo denotamos:
Entendiéndose que A es igual o un subconjunto de B cuando:
El conjunto A es igual o un subconjunto de B, si para todo elemento x que pertenezca a A, x pertenece a B.
También se puede comprobar:
Para todo A de las partes de U, si se cumple que: la unión de A y U es U, la intersección de A y U es A, la unión del complemento de A y U es U, la intersección de A y el complemento de U es el conjunto vacío, entonces A es igual o un subconjunto de U.
Esta conclusión forma parte de la definición de las partes de U, pero se puede llegar a ella por el cumplimiento de una de las cuatro condiciones expuestas, como ya se mencionó, las cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica el cumplimiento de las demás.
Aplicando el mismo razonamiento podemos ver:
Siendo B un conjunto de las partes de U, llegando a la conclusión de que el conjunto vacío es igual o un subconjunto de B.
Una proposición, o un predicado, es un valor de verdad que puede expresarse de forma verbal o con expresiones o relaciones matemática o lógica, por ejemplo:
'Hoy es miércoles.'
'El edificio es alto.'
'El perro está ladrando.'
Son proposiciones expresadas verbalmente, y también lo son:
'x = 3'
'mcd(a, b) = 2n + 1'
Dado que cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, las proposiciones suelen designarse con letra:
p= 'Llueve'
q= 'Llueve mucho'
r= 'Llevo paraguas'
s= 'La calle está mojada'
Las afirmaciones verdadero y falso también son proposiciones, designaremos con: al conjunto de proposiciones, a fin de ver que la lógica de proposiciones es un álgebra de Boole, además consideraremos:
La operación unaria interna, que llamaremos negación:
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada proposición a, le asigna otra poposición b.
Para toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la negación de a.
La primera operación binaria interna, que llamaremos disyunción:
Con la operación disyunción, definimos una aplicación que a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la disyunción de a y b.
La segunda operación binaria interna, que llamaremos conjunción:
Con la operación conjunción definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la conjunción de a y b.
Sabiendo que es álgebra de Boole, se puede comprobar que:
Para las proposiciones: a, b que cumplen alguna de estas condiciones se puede afirmar que a antecede a b. Que en el caso de proposiciones o predicados se dice que a es tanto o más fuerte que b, o que b es más débil que a, y lo representamos:
Así por ejemplo dadas las proposiciones:
a= Llueve mucho
b= Llueve
podemos ver:
Si: llueve muchoollueveentoncesllueve.
Si se da la circunstancia de cualesquiera de dos, que llueve mucho o llueve, claramente llueve en cualquier caso.
Si: llueve muchoyllueveentoncesllueve mucho.
Si afirmamos que llueve mucho y que llueve, y se cumplen las dos circunstancias entonces es que llueve mucho.
Si: nollueve muchoollueve es verdadero.
No llueve mucho indica que puede que llueva poco o que no llueva, si no llueve mucho o llueve abarca todas las posibilidades, desde tiempo seco a muy lluvioso, luego la afirmación es verdadera en todo caso.
Si: llueve muchoynollueve es falso.
Si afirmamos que llueve mucho y simultáneamente que no llueve, la afirmación es claramente falsa.
La afirmación más restrictiva es la más fuerte y la menos restrictiva la más débil, en este caso:
La proposición llueve mucho es tanto o más fuerte que llueve, la afirmación llueve mucho es un caso particular o el mismo caso de llueve.