Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables

Descubrimiento de los inconmensurables

Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:

Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como $p/q$ con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que $d^{2}=s^{2}+s^{2}$ , $(d/s)^{2}=p^{2}/q^{2}=2$, entonces $p^{2}=2q^{2}$ y por tanto $p^{2}$ debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos $p=2r$, entonces $4r^{2}=2q^{2}$ y $2r^{2}=q^{2}$, entonces $q^{2}$ es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.

La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.

El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón $a/b=c/d$ si dados dos números naturales cualesquiera m y n, si $ma=nb$ entonces $mc=nd$ (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).

En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará [[Richard Dedekind|Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las $m/n$ tales que $ma=nb$ y las que no.