Álgebra/Álgebra abstracta/ Grupos/Acciones de grupo

En esta sección obtendremos algunas relaciones numéricas que nos serán muy útiles en la sección siguiente, donde investigaremos la existencia de ciertos subgrupos de grupos finitos. Estas relaciones se expresan en términos de los conceptos siguientes.

Definición. Una acción de un grupo $G$ en un conjunto $S$ es una aplicación $\alpha :G\times S\longrightarrow S$, que denotaremos por $(g,s)\longmapsto gs$, tal que para todo $s\in S$

1. $1s=s$;
2. $g(hs)=(gh)s$ para cualesquiera $g,h\in G$.

Si $\alpha$ es una acción del grupo $G$ en el conjunto $S$, decimos también que $G$ actúa sobre $S$ por medio de $\alpha$. Si $s\in S$, la órbita de $s$ es el conjunto

$\Omega _{s}=\{t\in S\mid t=gs{\mbox{ para algún }}g\in G\},$

y el estabilizador de $s$ en $G$ es el conjunto

$G_{s}=\{g\in G\mid gs=s\}.$

Si $G$ es un grupo que actúa sobre un conjunto $S$, notemos lo siguiente:

1. el estabilizador de un $s\in S$ es un subgrupo de $G$, y
2. la relación $\sim$ sobre $S$ dada por $s\sim t$ si y sólo si $t\in \Omega _{s}$ es de equivalencia.

Verificar la afirmación de primer apartado se deja como ejercicio al lector. Para demostrar el segundo apartado, supongamos que $s,t,u\in S$. Por el apartado 1 de la definición anterior, tenemos $1s=s$ y por tanto $s\in \Omega _{s}$, así que $\sim$ es reflexiva; si $t=gs$, entonces $s=1s=(g^{-1}g)s=g^{-1}(gs)=g^{-1}t$, luego $s\in \Omega _{t}$ y $\sim$ es simétrica; si $t=gs$ y $u=ht$ entonces $u=h(gs)=(hg)s$ con $hg\in G$, luego $t\in \Omega _{s}$ y $u\in \Omega _{t}$ implica $u\in \Omega _{s}$ y con esto $\sim$ es transitiva. Por tanto, $\sim$ es una relación de equivalencia, y así ésta induce una partición de $S$ en clases de equivalencia, siendo éstas las órbitas de los elementos de $S$.

Es más fácil comprender una acción de grupo $\alpha :G\times S\longrightarrow S$ si vemos que al fijar un $g\in G$, éste determina, a través de la acción de grupo, una aplicación $\alpha _{g}:S\longrightarrow S$ dada por $s\mapsto gs$. La acción de grupo está completamente determinada por estas aplicaciones $\alpha _{g}$. Notemos que la propiedad 2 de la definición de acción de grupo nos dice que $\alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}$ para cualesquiera $g,h\in G$, y con esto comprobamos de forma inmediata que cada $\alpha _{g}$ es una biyección, pues su inversa es $\alpha _{g^{-1}}:$

$\alpha _{g}\circ \alpha _{g^{-1}}=\alpha _{gg^{-1}}=\alpha _{1}=\alpha _{g^{-1}g}=\alpha _{g^{-1}}\circ \alpha _{g}$,

donde $\alpha _{1}$ es la aplicación identidad sobre $S$ por la propiedad 1 de la definición de acción de grupo. Lo que esto demuestra es que toda acción de grupo determina una aplicación $\varphi :G\longrightarrow \Sigma _{S}$ que hace corresponder a cada $g\in G$ el elemento $\alpha _{g}\in \Sigma _{S}$. Más aún, es inmediato que $\varphi$ es un homomorfismo de grupos. Recíprocamente, si tenemos un homomorfismo $\varphi :G\longrightarrow \Sigma _{S}$, el lector puede verificar que las aplicaciones $\alpha _{g}$ por $s\longmapsto \varphi (g)s$ determinan una acción de grupo. Por lo tanto, una acción del grupo $G$ sobre el conjunto $S$ no es sino otra forma de ver a los homomorfismos entre $G$ y el grupo simétrico $\Sigma _{S}$.

Ahora veamos los ejemplos de acciones de grupo que nos resultarán de utilidad.

Por supuesto, todo grupo $G$ actúa sobre sí mismo por traslación: en esta caso definimos $\alpha _{g}$ por $h\longmapsto gh$ para todo $h\in G$, donde $gh$ es simplemente el producto de $g$ y $h$ en $G$, que podemos llamar una "traslación" (izquierda) de $h$ por $g$. La órbita de cualquier $g\in G$ es el grupo completo $G$, pues todo $h\in G$ es de la forma $(hg^{-1})g\in \Omega _{g}$. El estabilizador de cualquier $g$ es el subgrupo trivial de $G$, pues $1\in G$ es el único que cumple $1\cdot g=g$. Ahora bien, el homomorfismo $\varphi :G\longrightarrow \Sigma _{G}$ que esta acción determina es inyectivo, pues $g\in \ker \varphi$ si y sólo si $gh=h$ para todo $h\in G$, y al elegir $h=1$ tenemos que $g=1$, por lo que el núcleo de $\varphi$ es trivial y por tanto $\varphi$ es un monomorfismo. Por lo tanto, $\varphi :G\longrightarrow \varphi (G)$ es un isomorfismo, y hemos demostrado el

Teorema 1 (Cayley): Todo grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $\Sigma _{X}$, donde $|X|=|G|$.

Un grupo también actúa sobre sí mismo por medio de automorfismo internos: tomamos cada $\alpha _{g}:G\longrightarrow G$ como el automorfismo interno dado por $k\longmapsto kgk^{-1}$. Vamos a verificar que se cumplen la propiedades 1 y 2 de la definición de acción de grupo: por supuesto $1\cdot k\cdot 1^{-1}=k$ para todo $k\in G$, y para cualesquiera $g,h\in G$ tenemos $\alpha _{g}\circ \alpha _{h}(k)=g(hkh^{-1})g^{-1}=(gh)k(h^{-1}g^{-1})=(gh)k(gh)^{-1}=\alpha _{gh}(k)$ para todo $k\in G$. Esto comprueba que los automorfismos internos $\alpha _{g}$ determinan una acción de grupo. Cuando $G$ actúa sobre sí mismo de esta manera, se dice también que lo hace por conjugación, y la órbita de un $h\in G$ se representa por

$h^{G}=\{ghg^{-1}\mid g\in G\}$

y se llama clase de conjugación de $h$ en $G$, mientras que el estabilizador de $h$ se llama centralizador de $h$ en $G$ y lo representaremos por

$C_{G}(h)=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}$.

El centralizador $C_{G}(h)$ es, pues, el conjunto de todos los elementos de $G$ que conmutan con $h$. Como toda acción de grupo, la acción por conjugación determina un homomorfismo $G\longrightarrow \Sigma _{G}$, y su núcleo es

$\{h\in G\mid ghg^{-1}=h{\mbox{ para todo }}g\in G\}$,

al que llamaremos centro de $G$ y lo representaremos $Z(G)$. El centro de $G$ no es más que el subgrupo de $G$ formado por los elementos de $G$ que conmutan con cualquier elemento de $G$. Notemos que $h^{G}=\{h\}$ si y sólo si $h\in Z(G)$, o puesto de otro modo, $|h^{G}|=1$ si y sólo si $h\in Z(G)$.

Veamos ahora una relación muy importante entre órbitas y estabilizadores en general.

Teorema 2: Si un grupo $G$ actúa sobre un conjunto $S$, entonces para todo $s\in S$

$|\Omega _{s}|=[G:G_{s}].$

Demostración: Considérese $f:|G/G_{s}|\longrightarrow \Omega _{s}$ dada por $gG_{s}\longmapsto gs$. Puesto que

$gG_{s}=hG_{s}\qquad \Leftrightarrow \qquad g^{-1}h\in G_{s}\qquad \Leftrightarrow \qquad (g^{-1})hs=s\qquad \Leftrightarrow \qquad gs=hs$,

tenemos que $f$ es tanto bien definida como inyectiva. Por definición de órbita $f$ es sobreyectiva, y por tanto biyectiva, así que $|\Omega _{s}|=|G/G_{s}|=[G:G_{s}]$.

Corolario 3 (Ecuación de clases): Si $G$ es un grupo finito, entonces

$|G|=|Z(G)|+\sum _{|h^{G}|>1}[G:G_{h}],$

donde la suma corre sobre las clases de conjugación de más de un elemento.