Matemáticas/Álgebra Lineal/Subespacios Vectoriales

Subespacios vectoriales

Sea $V$ un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio vectorial $W$ de $V$ es un subconjunto de $V$ tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en $V$, es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.

Teorema (de caracterización) Sea $V$ un espacio vectorial sobre F, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. $\forall a\in F\quad \forall x\in W,\quad {a}\circ {x}\in W$
2. $\forall x,y\in W,\quad x{\bar {+}}y\in W$

Demostración

$\rightarrow )$ Es evidente, porque las operaciones ${\bar {+}}$ y $\circ$ son operaciones en $W$.

$\leftarrow )$ Las 8 propiedades de espacio vectorial se cumplen en $W$ porque se cumplen en $V$.

Corolario Un subconjunto $W$ no vacío de $V$ es subespacio vectorial si y solo si, para cada $a,b\in F$ y para cada $x,y\in W$ se cumple

$a\circ x{\bar {+}}b\circ y\in W$.