Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Leer Primero

Esta página fue creada para explicar el proyecto sobre un texto de Älgebra Abstracta/ El libro fue completado por su autor principal, y se puede leer en

Álgebra Abstracta.

Objetivos

Un Libro para un primer curso de Álgebra Abstracta.
En un primer curso, mas que un cubrimiento enciclopédico de los temas, queremos presentar las principales ideas y nociones, con muchos ejemplos.

Creemos que un estudiante de Álgebra Abstracta debe disponer de una cierta variedad de ejemplos, que sirvan para ilustrar nociones, motivar otras y permitir la verificación del dominio de las ideas y técnicas básicas. Los ejemplos básicos de grupos serán los grupos simétricos, los grupos cíclicos, los grupos diedrales, los Enteros , los Enteros módulo un número, el grupo lineal de orden 2, los grupos geométricos (grupos de simetrías, congruencias,etc.).

Con respecto a los anillos: los Enteros y subanillos de los Complejos, los enteros módulo un número, los anillos de polinomios, los cuerpos numéricos (subcuerpos de los Complejos) y cuerpos finitos primos.

Para Editores

El estilo es típico de libros textos: claro y preciso. Nuevas nociones deben ser acompañadas de ejemplos motivadores o de explicación. Las definiciones aisladas o teoremas sin demostración no conforman al estilo.

Un libro es más que una colección de páginas. La obra debe mirarse en su totalidad para efectos de consistencia de estilo, no solo de escritura sino también de contenido matemático.

Si se desea indicar versiones alternativas, se puede insertar referencias a las mismas, pero no eliminar el texto; o negociar las alteraciones de manera racional, ya que hay varias maneras diferentes de presentar un mismo tema.

Un ejemplo es la definición de subestructuras (ya sea de grupos anillos, etc.). Hay varias definiciones posibles, no hay una sola. Esa ha sido una observación general. Por ejemplo, si se quiere definir subgrupo, digamos H, de un grupo G podemos decir:

I) H es un subconjunto no vacío de G tal que la estructura de G restringida a H define una estructura de grupo (basada) en H.

II) H es un subconjunto no vacío de G, cerrado respecto a la operación a tomar neutros y a tomar inversos.

III) H es un subconjunto no vacío de G tal que para todo x, y en G se cumple que
x, y en H ==> xy^-1 está en H.

¿Cuál de esas definiciones es LA correcta? La respuesta es, desde mi punto de vista que las tres están correctas. Por lo que depende de mi criterio, gusto, sentido matemático o tradición, a cuál de ellas seleccionó como definición.

Me gusta la definición II, no digo que sea LA correcta, simplemente que me gusta. Usando esa definición, las otras dos definiciones se convierten en teoremas, o sea algo que hay que probar. ¿Por qué me gusta la definición II? Porque sigue la definición general de subobjeto de una estructura (mirar el apéndice sobre Estructuras Algebraicas o textos de Álgebra Universal que hacen énfasis en estructuras). La definición general de subobjeto es un subconjunto cerrado respecto a todas las operaciones ya sean 0-arias, unarias, binarias, etc. Sucede que para estructuras particulares, a veces no es necesario verificar todas las cerraduras una a una, por ejemplo en el caso de subgrupos tenemos el teorema indicado arriba como definición III.

En el texto, hemos procurado seguir los rasgos generales o abstractos para que el estudiante pueda ir observando dichos rasgos.

Otro aspecto de un texto es la conexión entre las diferentes páginas. Si se elimina, por ejemplo, la sección de la definición de anillos y subanillos, se eliminan también los ejemplos. Dichos ejemplos sirven para ilustrar el concepto, pero también sirven para conectar diferentes secciones.

Se puede presentar una definición ad-hoc para una estructura, por ejemplo ideales, diciendo que deben ser cerrados respecto a la multiplicación por elementos del anillo y respecto a la resta. Aunque la definición sea correcta, es preciso, didácticamente motivarla. ¿Por que nos interesa esa definición? ¿Cómo se llega lógicamente a ella? Es importante que un aprendiz vea una definición precisa y correcta, pero si queremos que aprenda a hacer matemáticas debemos darle alguna idea de como se hace matemáticas. El proceso no es tan rectilíneo como axiomas, definiciones y teoremas.

Finalmente, una de las razones que tuve para escribir el libro fue mi observación de que no había páginas o textos de Älgebra Abstracta que presentarán precisamente lo dicho arriba: ejemplos, motivaciones y aplicaciones diversas de los conceptos y relaciones que forman un tema matemático. Una persona que desea leer un texto quiere entender de que se trata el asunto, por lo que implemente definiciones y teoremas son un buen resumen del material, pero no muestran la riqueza del tema.

EL Álgebra Abstracta nació de la interacción de al menos tres fuentes muy diversas (aparentemente): la resolución de ecuaciones polinómicas, la teoría de números y la geometría. Sin ejemplos que muestren tales aplicaciones, resultar;a muy difícil ver dichas conexiones y, en consecuencia, entender de que se trata lo estudiado.

El libro puede, ciertamente, mejorarse en muchos aspectos desde redacción a contenido, pero quisiera que se mantuviera su espíritu básico: ayudar a personas interesadas a entrar en la materia. Sería interesante agregar ejemplos o ejercicios que ayuden al entendimiento, o referencias a artículos o páginas que hagan lo anterior, especialmente cuando sean escritas en castellano.