Mecánica cuántica/Operadores vectoriales y tensoriales

Operadores vectoriales

Las magnitudes clásicas ${\vec {x}}$, ${\vec {p}}$, ${\vec {L}}$, $\ldots$ son vectores de $\mathbb {R} ^{3}$ que bajo rotaciones transforman según una matriz de SO(3):

$R({\vec {i}}\ {\vec {j}}\ {\vec {k}})={\begin{pmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}&\cdots \\\vdots &&\\&&\end{pmatrix}}$

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$

$R{\vec {v}}\doteq \underbrace {\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}&\cdots \\\vdots &&\\&&\end{pmatrix}} _{\in SO(3)}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$

$e^{-{\frac {i}{\hbar }}\phi {\vec {n}}\cdot {\vec {J}}}$

Cuánticamente las rotaciones actúan sobre vectores $|\alpha \rangle$ de un espacio de Hilbert ($\mathbb {H} \neq \mathbb {R} ^{3}$), no sobre los operadores.

¿Cuál es el análogo cuántico de $v'_{1}=R_{ij}V_{j}$? Hará referencia al valor esperado del operador vectorial:

Bajo rotaciones:

$\langle v_{i}\rangle =\langle \alpha |v_{i}|\alpha \rangle {\stackrel {R}{\rightarrow }}\langle \alpha |D(R)^{\dagger }v_{i}D(R)|\alpha \rangle =\sum _{j}R_{ij}\langle \alpha |V_{j}|\alpha \rangle =\sum _{j}R_{ij}\langle v_{j}\rangle _{\alpha }$

$v_{i}=R_{ij}v_{j}\quad {\text{(sumatoria en j)}}$

Esta es la definición de operador vectorial ($v_{i}$ actúa sobre $\mathbb {H}$ n-dim):

$\Rightarrow D^{\dagger }(R)v_{i}D(R)=R_{ij}v_{j}$

donde las $D$ son matrices $n\times n$.

Y tomando rotaciones infintesimales

$D(R)={\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}d\phi {\vec {J}}\cdot {\vec {n}}.$

En Mecánica Cuántica nuestra definición de operador vectorial es

$[v_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}v_{k}$

y su valor esperado se comporta como un vector clásico.

Tenemos por tanto que un operador vectorial hace

$V_{i}{\stackrel {R}{\rightarrow }}{R_{ij}V_{j}}$

Operadores tensoriales

Clásicamente podemos construir magnitudes físicas que no vengan descritas por vectores de $\mathbb {R} ^{3}$, sino por tensores de $\mathbb {R} ^{3}\otimes \mathbb {R} ^{3}$ u otros espacios tensoriales. El espacio tensorial puede siempre descomponerse en una suma de subespacios de tipo $\mathbb {H} ^{j}$ (clasicamente cualquier magnitud física se puede representar por un vector ("tensor") de $\mathbb {H} ^{j}$).

$\mathbb {H} ^{j}:\{|j\ m\rangle \}$

$|T\rangle \in \mathbb {H} ^{j}=\sum _{j,m}|jm\rangle \underbrace {T_{m}^{j}} _{{\text{comp. tensoriales de }}\left|T\right\rangle }$

(todo esto es clásico)

$T_{m}^{j}\rightarrow T_{m}^{j'}=D^{j}(R)_{mm'}T_{m}^{j}$

$D^{j}(R)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\phi {\vec {n}}\cdot {\vec {J}}}$

donde ${\vec {J}}$ son matrices $2j+1$ dimensionales.

En Mecánica, se define un operador tensorial irreducible de orden j como una combinación de $2j+1$ operadores $T_{m}^{j}$, con $m=-j,\ldots ,j$, que bajo la acción de matriz rotación verifica:

$\langle \alpha |T_{m}^{j}|\alpha \rangle {\stackrel {R}{\rightarrow }}\langle \alpha |D^{\dagger }(R)\underbrace {T_{m}^{j}} _{{\text{(oper. }}n\times n)}\underbrace {D(R)} _{({\text{matriz }}n\times n)}\underbrace {|\alpha \rangle } _{({\text{vector de }}\mathbb {H} {\text{ n-dim}})}=\sum _{m'=-j,+j}\langle \alpha |D^{j}(R)_{mm'}T_{m}^{j'}|\alpha \rangle$

Tomando rotaciones infinitesimales obtenemos

$[J_{\pm },T_{m}^{j}]=\hbar {\sqrt {(j_{m}pm)(j\pm m+1)}}$ $[J_{z},T_{m}^{j}]=\hbar mT_{m}^{j}$

$[{\vec {J}}\cdot {\vec {n}},T_{m}^{j}]=\sum _{m'}\langle jm'|{\vec {J}}\cdot {\vec {n}}|jm\rangle$

en la representación $j(\mathbb {H} ^{j})$.

Teorema de Wigner-Eckart

El cálculo de los elementos de matriz de un tensor irreductible entre estados con momento angular bien definido, queda simplificado por el siguiente teorema de Wigner-Eckart

$\langle \alpha _{2},j_{2}m_{2}|T_{m}^{j}|\alpha _{1},j_{1}m_{1}\rangle =\underbrace {\langle j_{2}\ m_{2}|jm\ j_{1}m_{1}\rangle } _{C-G}\langle \alpha _{2}\ j_{2}||T^{j}||\alpha _{1}j_{1}\rangle .$

El contenido del doble barrado vertical se denomina elemento de matriz reducido y remarca que no depende de $m$.

Hay mucha información aquí pero en principio no la vamos a ver, quizá en colisiones.