Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Introducción a la trigonometría

La trigonometría (del griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> medida, "medición de triángulos"), es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para ello se vale de las funciones o razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica (trigonométrica o unitaria) es una herramienta muy útil a la hora de visualizar y definir razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.

Se trata de una circunferencia de radio 1, situada en el origen de coordenadas. En ella se dibujan los ángulos de la siguiente forma:

• El vértice en el origen de coordenadas.
• Uno de sus lados en el eje de las x.
• El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj.

La circunferencia goniométrica se divide en cuatro partes, denominadas cada una de ellas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran a partir del semieje positivo de las x, en sentido antihorario: primero, segundo, tercero y cuarto:

• La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las x y el semieje positivo de las y es el primer cuadrante.
• La parte del plano comprendida entre el smieje positivo de las y, y el semieje negativo de las x es el segundo cuadrante

Y así sucesivamente. Tomando en cuenta los ángulos de la figura adjunta tenemos:

• Primer cuadrante: de 0 a 90º, x>0, y >0
• Segundo cuadrante: de 90 a 180º, x<0, y>0
• Tercer cuadrante: de 180º a 270º, x<0, y<0
• Cuarto cuadrante: de 270º a 360º, x>0, y<0

Como se verá más adelante, dependiendo del cuadrante considerado, las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente tienen un valor positivo o negativo.

Seno y coseno de un angulo entre 0 y 360 grados

Fijémonos en la figura. Si situamos un ángulo cualquiera $\phi \to (\cos \phi ,\ \sin \phi )$ son las coordenadas del punto en que el lado corta la circunferencia goniométrica.

Nota: Recordemos que $\sin ^{2}\phi +\cos ^{2}\phi =1\,\!$

Si miramos la figura veremos que se cumple que:

$\sin \left\{{\begin{matrix}{\mbox{arriba}}\to +\\{\mbox{abajo}}\to -\end{matrix}}\right.$

$\cos \left\{{\begin{matrix}{\mbox{derecha}}\to +\\{\mbox{izquierda}}\to -\end{matrix}}\right.$

Tangente de un ángulo entre 0 y 360 grados

Si trazamos una recta t tangente al punto U de la circunferencia, ya podemos representar gráficamente la tangente. Cojamos ahora un ángulo cualquiera prolonguemos el segundo lado hasta que corte a t por un punto T. La tangente del ángulo es la longitud del segmento UT, con el signo que le toque.

Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente.

Ángulos de medidas cualquiera

La motivación de este apartado no es otra que dar respuesta a la pregunta ¿cual es el seno de $420^{\circ }$?

Si hacemos $420^{\circ }-360^{\circ }=60^{\circ }$ esto quiere decir que 420 es una vuelta entera y 60 grados. Con esta sencilla operación se definen todos los ángulos posibles

Ángulos negativos

Si a 310º le restamos 360º obtenemos -50º. Es decir 310º puede expresarse como -50º. Es más, normalmente los ángulos que están por debajo del eje de las x se escriben con una medida negativa, es decir que todos los ángulos posibles se suelen escribir con valores comprendidos entre -180º y 180 grados

Ejemplo

Escribir con valores comprendidos entre -180º y 180º estos ángulos:

$748^{\circ }\to$

$748\,\!$		$360\,\!$
$28\,\!$		$2\,\!$

$\to 748^{\circ }=2\cdot 360^{\circ }+28^{\circ }=28^{\circ }$

$1703^{\circ }\to$

$1703\,\!$		$360\,\!$
$263\,\!$		$4\,\!$

$\to 1703^{\circ }=4\cdot 360^{\circ }+263^{\circ }=263^{\circ }$

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Esto que viene ahora es tremendamente útil, y no sólo para ahora. No es necesario aprenderlas de memoria porque si las razonas un par de veces las visualizarás sin pensar

$\sin(\alpha )={\overline {CB}}$

$\cos(\alpha )={\overline {AC}}$

$\tan(\alpha )={\overline {DE}}$

Ángulos que difieren en 90 grados: x y 90º-x

$\sin(90^{\circ }-\alpha )=\cos(\alpha )$

$\cos(90^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )$

$\tan(90^{\circ }-\alpha )={\cfrac {1}{\tan(\alpha )}}$

Ángulos que difieren en 90 grados: x y 90º+x

$\sin(90^{\circ }+\alpha )=\cos(\alpha )$

$\cos(90^{\circ }+\alpha )=-\sin(\alpha )$

$\tan(90^{\circ }+\alpha )={\cfrac {-1}{\tan(\alpha )}}$

Ángulos que difieren en 180 grados: x y 180º-x

$\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )$

$\cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos(\alpha )$

$\tan(180^{\circ }-\alpha )=-\tan(\alpha )$

Ángulos que difieren en 180 grados: x y 180º+x

$\sin(180^{\circ }+\alpha )=-\sin(\alpha )$

$\cos(180^{\circ }+\alpha )=-\cos(\alpha )$

$\tan(180^{\circ }+\alpha )=\tan(\alpha )$

Ángulos que difieren en 270 grados: x y 270º-x

$\sin(270^{\circ }-\alpha )=-\cos(\alpha )$

$\cos(270^{\circ }-\alpha )=-\sin(\alpha )$

$\tan(270^{\circ }-\alpha )={\cfrac {1}{\tan(\alpha )}}$

Ángulos que difieren en 270 grados: x y 270º+x

$\sin(270^{\circ }+\alpha )=-\cos(\alpha )$

$\cos(270^{\circ }+\alpha )=\sin(\alpha )$

$\tan(270^{\circ }+\alpha )={\cfrac {-1}{\tan(\alpha )}}$

Ángulos opuestos: x y -x

$\sin(360^{\circ }-\alpha )=\sin(-\alpha )=-\sin(\alpha )$

$\cos(360^{\circ }-\alpha )=\cos(-\alpha )=\cos(\alpha )$

$\tan(360^{\circ }-\alpha )=\tan(-\alpha )=-\tan(\alpha )$

para reducir razones trigonométricas de un angulo negativo, -x, basta con darse cuenta de que si sumamos una vuelta a este angulo. obtenemos un angulo equivalente que sunma 360ºcon el opuesto a -x.

Una nueva unidad para medir ángulos: el radian

Los costumbre de medir los ángulos en grados, proviene de los babilonios que dividieron el ciclo anual en 360 partes, así, el arco recorrido en un día era casi un grado. Y esta forma de medición ha perdurado hasta nuestros días.

Sin embargo el radian aporta algunas ventajas y por eso es interesante conocerlo

Visualización de un radian

1. Coge un vaso o cualquier objeto cilíndrico. Apóyalo sobre un papel y dibuja su contorno (es decir una circunferencia).
2. Localiza el centro de la circunferencia (dibuja dos segmentos haz las mediatrices y donde se corten ese es el centro.
3. Coge una cuerda y pon el extremo en el centro y marca con un rotulador el punto donde coincida con la circunferencia.
4. Vuelve a poner el vaso en la circunferencia y enrolla la cuerda en el, marca en la circunferencia los dos puntos señalados en la cuerda.
5. Dibuja los radios correspondientes a los dos puntos y ya tienes un radian. Mídelo si quieres y verás que son aproximadamente 57º

Definición formal

Llamamos radián a aquel ángulo tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el radio del arco.del mismo angulo

Conversión radian-grado grado-radian

Una circunferencia tiene una longidud de $2\pi r\,\!$ y un radian mide r es decir en una circunferencia caben $2\pi \,\!$ radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que:

$360^{\circ }=2\pi \ {\mbox{ radianes}}$

Paso de grados a radianes: $\alpha \ {\mbox{ grados}}={\frac {2\pi }{360}}\cdot \alpha \ {\mbox{ radianes}}$

Paso de radianes a grados: $n\ {\mbox{ radianes}}={\frac {360}{2\pi }}\cdot n\ {\mbox{ grados}}$

El valor de un radian es: ${\frac {360}{2\pi }}={\frac {180}{3,141592654}}\approx 57^{\circ }\ \ 17^{\prime }\ \ 44,81^{\prime \prime }$

Utilidad de los radianes

Al nivel en que nos encontramos "solamente" sirven para las funciones trigonométricas, no obstante la utilidad del radian es indiscutible para muchas otras cosas que no podremos explicar aquí.

Sin embargo su utilidad es fundamental para problemas tanto matemáticos como para problemas de física, en el tema de la dinámica.

Su utilidad ha servido mucho a la ciencia, su uso es solamente para circunferencias, círculos, y la mayoría de líneas curvas, pues siempre los radianes y los grados han estado correlacionados.

Funciones circulares

Vamos a dibujar unas funciones que para cada ángulo expresado en radianes nos den un valor para y:

Fuciones circulares definidas en todo $\mathbb {R}$

Como ya hemos visto un ángulo de 400º es igual a uno de 40º uno de 410º equivale a uno de 50. por lo tanto las funciones circulares son periódicas.

Fórmulas trigonométricas

LAS ECUACIONES TRIGONOMETRICAS CONTIENEN RESULTADOS CUADRADOS EQUIDISTANTES