Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
En la formas
P ( x ) = ( x + b 2 ) 2 − b 2 4 + c {\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}
o
a ( x + b 2 a ) 2 + c − b 2 4 a {\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
Donde a,b son constantes
Procedimiento
editar
Trinomio mónico x2 + bx + c
editar
Descripción
Procedimiento Simbólico
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma
P ( x ) = x 2 + b x + c {\displaystyle P(x)=x^{2}+bx+c}
x 2 + 10 x + 28 {\displaystyle x^{2}+10x+28}
Sumando y restando el cuadrado del cociente (la división/fracción), del coeficiente de x entre 2
P ( x ) = x 2 + b x + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c {\displaystyle P(x)=x^{2}+bx{\color {Red}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}+c}
x 2 + 10 x + ( 10 2 ) 2 − ( 10 2 ) 2 + 28 {\displaystyle x^{2}+10x{\color {Red}+\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}+28}
Agrupando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto
P ( x ) = ( x 2 + b x + b 2 2 2 ) − b 2 2 2 + c {\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)}-{\frac {b^{2}}{2^{2}}}+c}
( x 2 + 10 x + 25 ) − 25 + 28 {\displaystyle {\color {Red}\left(x^{2}+10x+25\right)}-25+28}
Factorizando (reduciendo) este trinomio a un binomio al cuadrado, el cual se obtuvo: (1) extrayendo la raíz cuadrada del primer término del trinomio (√ x 2 = x {\displaystyle \surd x^{2}=x} ), que será el término izquierdo del binomio; (2) extrayendo la raíz cuadrada del tercer término del trinomio (√ ( b 2 2 2 ) = √ b 2 √ 2 2 = b 2 {\displaystyle \surd ({\frac {b^{2}}{2^{2}}})={\frac {\surd b^{2}}{\surd 2^{2}}}={\frac {b}{2}}} ), que será el término derecho del binomio; (3) usando el signo del segundo término del trinomio (+ b x {\displaystyle +bx} ) como el signo que separa los términos del nuevo binomio.
P ( x ) = ( x + b 2 ) 2 − b 2 4 + c {\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}
( x + 5 ) 2 − 3 {\displaystyle {\color {Red}\left(x+5\right)^{2}}-3}
Observación : con respecto a la expresión resultante ( x + b 2 ) 2 − b 2 4 + c {\displaystyle {\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c} puede continuarse simplificado/reduciendo. Un método es elevando al cuadrado ambos miembros, lo cual generará dos resultados, debido a la presencia de una raíz de índice par (en este caso cuadrada).
Así, x 2 + b x + c = ( x + h ) 2 + k = ( x + b 2 ) 2 + c − b 2 4 {\displaystyle x^{2}+bx+c=\left(x+h\right)^{2}+k=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4}}} , donde h = b 2 {\displaystyle h={\frac {b}{2}}} y k = c − b 2 4 {\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}} .
Polinomio de la forma ax2 + bx + c
editar
Descripción
Procedimiento Simbólico
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
3 x 2 + 24 x + 40 {\displaystyle 3x^{2}+24x+40}
Sacando a a como factor común, de los términos con x
a ( x 2 + b a x ) + c {\displaystyle {\color {Red}a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)}+c}
3 ( x 2 + 8 x ) + 40 {\displaystyle {\color {Red}3\left(x^{2}+8x\right)}+40}
Sumando y restando el cuadrado del cociente, del coeficiente de x entre 2
a ( x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 ) + c {\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x{\color {Red}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}\right)+c}
3 ( x 2 + 8 x + 16 − 16 ) + 40 {\displaystyle 3\left(x^{2}+8x{\color {Red}+16-16}\right)+40}
Acomodando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto
a ( x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 ) + c {\displaystyle a\left({\color {Red}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c}
3 ( x 2 + 8 x + 16 − 16 ) + 40 {\displaystyle 3\left({\color {Red}x^{2}+8x+16}-16\right)+40}
Multiplicamos por el factor común a , al término que acabamos de restar, − ( b 2 a ) 2 {\displaystyle -\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}} , para sacarlo del paréntesis
a ( x 2 + b a x + b 2 4 a 2 ) − a b 2 4 a 2 + c {\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right){\color {Red}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}}+c}
3 ( x 2 + 8 x + 16 ) − 48 + 40 {\displaystyle 3\left(x^{2}+8x+16\right){\color {Red}-48}+40}
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto
a ( x 2 + b a x + b 2 4 a 2 ) − a b 2 4 a 2 + c {\displaystyle a{\color {Red}\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}
3 ( x 2 + 8 x + 16 ) − 48 + 40 {\displaystyle 3{\color {Red}\left(x^{2}+8x+16\right)}-48+40}
Reduciendo este trinomio a un binomio al cuadrado (con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2).
a ( x + b 2 a ) 2 − a b 2 4 a 2 + c {\displaystyle a{\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}
3 ( x + 4 ) 2 − 48 + 40 {\displaystyle 3{\color {Red}\left(x+4\right)^{2}}-48+40}
Simplificando
a ( x + b 2 a ) 2 + c − b 2 4 a {\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
3 ( x + 4 ) 2 − 8 {\displaystyle 3\left(x+4\right)^{2}-8}
Así, a x 2 + b x + c = a ( x + h ) 2 + k {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+h\right)^{2}+k}
donde h = b 2 a {\displaystyle h={\frac {b}{2a}}} y k = c − b 2 4 a {\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
4 x 2 + 3 x − 2 = 0 {\displaystyle 4x^{2}+3x-2=0}
1.
4 x 2 + 3 x = 2 {\displaystyle 4x^{2}+3x=2}
2.
x 2 + 3 x 4 = 1 2 {\displaystyle x^{2}+{\frac {3x}{4}}={\frac {1}{2}}}
3.
( 3 4 2 ) = 3 8 {\displaystyle ({\frac {3}{\frac {4}{2}}})={\frac {3}{8}}}