Curso de física estadística/Colectividad macrocanónica/Partículas idénticas

Aunque no podamos obtener la función de partición canónica

$Z_{N}(T,V,N)=\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{-\beta E(\{n_{\alpha }\})},\qquad \sum n_{\alpha }=N$

si podemos obtener la macrocanónica.

${\begin{aligned}\Theta (z,V,\mu )&=\sum _{N=0}^{\infty }z^{N}{\mathcal {Z}}_{N}(T,V,N),\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }e^{\beta \mu N}\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{-\beta E(\{n_{\alpha }\})},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta (\mu N-E(\{n_{\alpha }\}))},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta \left(\mu \sum _{\alpha }n_{\alpha }-\sum _{\alpha }\epsilon _{\alpha }\right)},\qquad \sum n_{\alpha }=N\end{aligned}}$

donde las $\alpha$ hacen referencia a los estados energéticos. $n_{\alpha }$ es el número de ocupación de un nivel energético, que dice cuántas partículas se encuentran en un determinado nivel energético y ${\{n_{\alpha }\}}$ es el conjunto que contiene todos los números de ocupación (usado para hacer referencia a una dependencia genérica con los niveles de ocupación de todos los estados energéticos).

${\begin{aligned}\Theta (z,V,\mu )&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta \sum _{\alpha }n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}\delta \left(N-\sum _{\alpha }n_{\alpha }\right)e^{\beta \sum _{\alpha }n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })},\qquad \sum n_{\alpha }=N\\&=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{\alpha }\}}\delta \left(N-\sum _{\alpha }n_{\alpha }\right)e^{\beta \sum _{\alpha }n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\sum _{\{n_{\alpha }\}}\sum _{N=0}^{\infty }\delta \left(N-\sum _{\alpha }n_{\alpha }\right)e^{\beta \sum _{a}lphan_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta \sum _{n_{\alpha }}n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\sum _{\{n_{\alpha }\}}\prod _{\alpha }e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\end{aligned}}$

Y obtenemos finalmente que

$\Theta (z,V,\mu )=\prod _{\alpha }\sum _{\{n_{\alpha }\}}e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}$

En el caso de fermiones, los niveles de ocupación pueden valer 0 o 1.

${\begin{aligned}\Theta _{F}(z,V,\mu )&=\prod _{\alpha }\sum _{\{n_{\alpha }=0,1\}}e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\prod _{\alpha }\left[1+e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}\right]\end{aligned}}$

En el caso de bosones, los niveles de ocupación pueden tomar cualquier valor. Podemos calcular la sumatoria con la serie geométrica si $e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}<1$:

${\begin{aligned}\Theta _{B}(z,V,\mu )&=\prod _{\alpha }\sum _{n_{\alpha }=0}^{\infty }e^{\beta n_{\alpha }(\mu -\epsilon _{\alpha })}\\&=\prod _{\alpha }\left[{\frac {1}{1-e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}}}\right].\end{aligned}}$

Podemos reunir los resultados en la forma compacta

$\Theta _{F/B}(z,V,\mu )=\prod _{\alpha }\left[1\pm e^{\beta (\mu -\epsilon _{\alpha })}\right]^{\pm 1}$