Un espacio vectorial V {\displaystyle V} sobre un campo F {\displaystyle F} , es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones + ¯ {\displaystyle {\bar {+}}} y ∘ {\displaystyle \circ }
Donde:
+ ¯ : V × V → V {\displaystyle {{\bar {+}}:{V}\times {V}}\rightarrow {V}} Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores
∘ : F × V → V {\displaystyle {\circ :{F}\times {V}}\rightarrow {V}} Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares
Y se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad 1.
∀ x , y , z ∈ V : x + ¯ ( y + ¯ z ) = ( x + ¯ y ) + ¯ z {\displaystyle \forall x,y,z\in V:\quad x{\bar {+}}(y{\bar {+}}z)=(x{\bar {+}}y){\bar {+}}z} Propiedad 2.
∃ ! e ∈ V , ∀ x ∈ V : x + ¯ e = e + ¯ x = x {\displaystyle \exists !e\in V,\quad \forall x\in V:\quad x{\bar {+}}e=e{\bar {+}}x=x} Propiedad 3.
∀ x ∈ V , ∃ − x ∈ V : ( − x ) + ¯ x = x + ¯ ( − x ) = e {\displaystyle \forall x\in V,\quad \exists -x\in V:\quad (-x){\bar {+}}x=x{\bar {+}}(-x)=e} Propiedad 4.
∀ x , y ∈ V : x + ¯ y = y + ¯ x {\displaystyle \forall x,y\in V:\quad x{\bar {+}}y=y{\bar {+}}x} .Propiedad 5.
∃ ! 1 ∈ F , ∀ x ∈ V : 1 ∘ x = x {\displaystyle \exists !1\in F,\quad \forall x\in V:\quad {1}\circ {x}=x} Propiedad 6.
∀ a ∈ F , ∀ x , y ∈ V : a ∘ ( x + ¯ y ) = ( a ∘ x ) + ¯ ( a ∘ y ) {\displaystyle \forall a\in F,\quad \forall x,y\in V:\quad {a}\circ {(x{\bar {+}}y)}=({a}\circ {x}){\bar {+}}({a}\circ {y})} Propiedad 7.
∀ a , b ∈ F , ∀ x ∈ V : ( a × b ) ∘ x = a ∘ ( b ∘ x ) {\displaystyle \forall a,b\in F,\quad \forall x\in V:\quad {({a}\times {b})}\circ {x}={a}\circ {({b}\circ {x})}} Propiedad 8.
∀ a , b ∈ F , ∀ x ∈ V : ( a + b ) ∘ x = ( a ∘ x ) + ¯ ( b ∘ x ) {\displaystyle \forall a,b\in F,\quad \forall x\in V:\quad {(a+b)}\circ {x}=({a}\circ {x}){\bar {+}}({b}\circ {x})}
Donde+ {\displaystyle +} y × {\displaystyle \times } son las dos operaciones del campo F
A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.
No confundir + ¯ {\displaystyle {\bar {+}}} con + {\displaystyle +} , el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que ∘ {\displaystyle \circ } es producto de escalares por vectores y × {\displaystyle \times } es multiplicacion de escalares
1. V = R 2 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}} es un espacio vectorial sobre el campo R {\displaystyle \mathbb {R} }
2. V = M n × m ( R ) {\displaystyle V=M_{{n}\times {m}}(\mathbb {R} )} (el conjunto de matrices de n × m {\displaystyle {n}\times {m}} con entradas en R {\displaystyle \mathbb {R} } ) es un espacio vectorial sobre el campo R {\displaystyle \mathbb {R} }
3. P n ( R ) {\displaystyle \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} )} (los polinomios de grado menor o igual que n {\displaystyle n} con coeficientes en R {\displaystyle \mathbb {R} } ) son un espacio vectorial sobre el campo R {\displaystyle \mathbb {R} }
4.
Teorema En un espacio vectorial siempre se cumplen las siguientes propiedades:
0 ∘ x = e {\displaystyle 0\circ {x}=e} , ∀ x ∈ V {\displaystyle \forall x\in V} donde 0 ∈ F {\displaystyle 0\in F} es el neutro de la operacion suma en F
( − 1 ) ∘ x = − x {\displaystyle (-1)\circ {x}=-x} , ∀ x ∈ V {\displaystyle \forall x\in V}
a ∘ e = e {\displaystyle a\circ {e}=e} , ∀ a ∈ F {\displaystyle \forall a\in F} Demostración
( 0 ∘ x ) + ¯ e = 0 ∘ x = ( 0 + 0 ) ∘ x = ( 0 ∘ x ) + ¯ ( 0 ∘ x ) {\displaystyle (0\circ {x}){\bar {+}}e=0\circ {x}=(0+0)\circ {x}\ =\ (0\circ {x}){\bar {+}}(0\circ {x})} y por cancelacion e = 0 ∘ x {\displaystyle e=0\circ {x}} .
x + ¯ ( ( − 1 ) ∘ x ) = ( 1 ∘ x ) + ¯ ( ( − 1 ) ∘ x ) = ( 1 + ( − 1 ) ) ∘ x = 0 ∘ x = e {\displaystyle x{\bar {+}}((-1)\circ x)=(1\circ x){\bar {+}}((-1)\circ x)=(1+(-1))\circ x=0\circ x=e} . Como el simétrico (para la suma) de x {\displaystyle x} es único, tenemos ( − 1 ) ∘ x = − x {\displaystyle (-1)\circ x=-x} .
( a ∘ e ) + ¯ e = a ∘ e = a ∘ ( e + ¯ e ) = ( a ∘ e ) + ¯ ( a ∘ e ) {\displaystyle (a\circ e){\bar {+}}e=a\circ e=a\circ (e{\bar {+}}e)=(a\circ e){\bar {+}}(a\circ e)} y por cancelación e = a ∘ e {\displaystyle e=a\circ e} .