Álgebra/Análisis numérico/Integración y Diferenciación Numérica/Reglas de Simpson

Definición

Regla de Simpson 1/3

Resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en una ecuación de aproximación con integral: $I=\int _{a}^{b}{f(x)dx\cong \int _{a}^{b}{f_{2}(x)dx}}$

$I=\int _{x_{0}}^{x_{2}}{\left[{{{(x-x_{1})(x-x_{2})} \over {(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}f(x_{0})-{{(x-x_{0})(x-x_{2})} \over {(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}f(x_{1})+{{(x-x_{0})(x-x_{1})} \over {(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}f(x_{2})}\right]}dx$

Después de la integración y manejo algebraico, resulta:

$I\simeq {h \over 3}[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})]$

Donde

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle h = {(b – a) \over 2} }

Regla de Simpson 3/8

Resulta cuando una interpolación polinomial de tercer orden es sustituida en la ecuación de aproximación:

Error al representar (función desconocida «\con»): {\displaystyle I = \int_a^b {f(x)dx} \con \int_a^b {f_3 (x)dx}}

Para obtener:

$I\simeq {{3h} \over 8}[f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3})]$